Calcule o determinante da matriz de Vandermonde:
\left(\begin{array}{llll}1 & a & a^{2} & a^{3} \\\\ 1 & b & b^{2} & b^{3} \\\\ 1 & c & c^{2} & c^{3} \\\\ 1 & d & d^{2} & d^{3}\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz de Vandermonde de ordem 4, ou seja
\begin{pmatrix} 1 & a & a^2 & a^3\\\\ 1 & b & b^2 & b^3\\\\ 1 & c & c^2 & c^3\\\\ 1 & d & d^2 & d^3 \end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é a propriedade do determinante de uma matriz de Vandermonde.

Passo 2

A fórmula geral para o determinante da matriz de Vandermonde
V = \bigl(x_i^{\,j-1}\bigr)_{1\le i,j\le n}
é
\det(V) \;=\;\prod_{1\le j<i\le n}\bigl(x_i - x_j\bigr).

Passo 3

No nosso caso temos n=4 e
x_1 = a,\quad x_2 = b,\quad x_3 = c,\quad x_4 = d.
Substituindo na fórmula, obtemos
\det = (b-a)(c-a)(d-a)\,(c-b)(d-b)(d-c).

Resposta

(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)

Exercícios relacionados