Determinar a projeção ortogonal do vetor (1,1,0,-1) \in \mathbb{R}^{4} sobre o sub-espaço
\mathrm{W}=\left\{(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}, \mathrm{t}) \in \mathbb{R}^{4} \mid \mathrm{x}-\mathrm{y}-\mathrm{z}=0 \mathrm{e} \mathrm{z}-2 \mathrm{t}=0\right\}

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal do vetor \mathbf{v}=(1,1,0,-1) no subespaço
W=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4\mid x-y-z=0,\;z-2t=0\}.
O conteúdo usado será: 1) obter uma base de W por parametrização, 2) montar o Gramiano, 3) usar a fórmula da projeção ortogonal \mathrm{proj}_{W}(\mathbf{v})=B\,(B^TB)^{-1}B^T\mathbf{v}.

Passo 2

Parametrizamos W. Das equações
x-y-z=0\quad\Rightarrow\quad x=y+z, \qquad z-2t=0\quad\Rightarrow\quad z=2t,
usamos parâmetros s=y e u=t. Então
(x,y,z,t)=(s+2u,\;s,\;2u,\;u) =s\,(1,1,0,0)+u\,(2,0,2,1).
Uma base de W é
\mathbf{b}_1=(1,1,0,0),\qquad \mathbf{b}_2=(2,0,2,1).

Passo 3

Calculamos o Gramiano G=[\langle\mathbf{b}_i,\mathbf{b}_j\rangle].
\langle\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_1\rangle=2, \quad \langle\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2\rangle=2, \quad \langle\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_2\rangle=9.
Logo
G=\begin{pmatrix}2&2\\\ 2&9\end{pmatrix}, \quad G^{-1}=\frac1{14}\begin{pmatrix}9&-2\\\ -2&2\end{pmatrix}.

Passo 4

Calculamos os produtos internos \langle\mathbf{b}_i,\mathbf{v}\rangle:
\langle\mathbf{b}_1,\mathbf{v}\rangle=2, \qquad \langle\mathbf{b}_2,\mathbf{v}\rangle=1.
As coordenadas \mathbf{c}=(c_1,c_2)^T são
\mathbf{c}=G^{-1} \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix} =\frac1{14}\begin{pmatrix}9&-2\\\ -2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}8/7\\\ -1/7\end{pmatrix}.

Passo 5

A projeção é
\mathrm{proj}_{W}(\mathbf{v}) =c_1\mathbf{b}_1+c_2\mathbf{b}_2 =\frac{8}{7}(1,1,0,0)+\bigl(-\frac{1}{7}\bigr)(2,0,2,1) =\Bigl(\frac{6}{7},\;\frac{8}{7},\;-\frac{2}{7},\;-\frac{1}{7}\Bigr).

Resposta

\mathrm{proj}_{W}(1,1,0,-1)=\Bigl(\tfrac{6}{7},\tfrac{8}{7},-\tfrac{2}{7},-\tfrac{1}{7}\Bigr).

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