Use a regra de Cramer para resolver o sistema:
x+2 y+3 z=6
2 x+3 y+z=6
3 x+y+2 z=6

Passo 1

Temos o sistema linear
\begin{cases} x + 2y + 3z = 6,\\\\ 2x + 3y + z = 6,\\\\ 3x + y + 2z = 6.
Vamos usar a regra de Cramer, que diz que se D é o determinante da matriz de coeficientes e D_x, D_y, D_z são os determinantes obtidos trocando a coluna correspondente pelos termos independentes, então
x = \frac{D_x}{D},\quad y = \frac{D_y}{D},\quad z = \frac{D_z}{D}.

Passo 2

A matriz dos coeficientes é
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 2 & 3 & 1\\\\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
O determinante D=\det(A) é
D = 1\cdot(3\cdot2 - 1\cdot1) \;-\;2\cdot(2\cdot2 - 1\cdot3)\;+\;3\cdot(2\cdot1 - 3\cdot3) \;=\;5 - 2 - 21 \;=\;-18.

Passo 3

Para D_x, substituímos a primeira coluna pelos termos independentes (6,6,6):
D_x = \begin{vmatrix} 6 & 2 & 3\\\\ 6 & 3 & 1\\\\ 6 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 6\cdot(3\cdot2 - 1\cdot1) -2\cdot(6\cdot2 - 1\cdot6) +3\cdot(6\cdot1 - 3\cdot6) =30 - 12 - 36 =-18.

Passo 4

Para D_y, substituímos a segunda coluna pelos termos independentes:
D_y = \begin{vmatrix} 1 & 6 & 3\\\\ 2 & 6 & 1\\\\ 3 & 6 & 2 \end{vmatrix} =1\cdot(6\cdot2 - 1\cdot6) -6\cdot(2\cdot2 - 1\cdot3) +3\cdot(2\cdot6 - 6\cdot3) =6 - 6 - 18 =-18.

Passo 5

Para D_z, substituímos a terceira coluna pelos termos independentes:
D_z = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 6\\\\ 2 & 3 & 6\\\\ 3 & 1 & 6 \end{vmatrix} =1\cdot(3\cdot6 - 6\cdot1) -2\cdot(2\cdot6 - 6\cdot3) +6\cdot(2\cdot1 - 3\cdot3) =12 + 12 - 42 =-18.

Passo 6

Agora aplicamos a regra de Cramer:
x = \frac{D_x}{D} = \frac{-18}{-18} = 1,\quad y = \frac{D_y}{D} = \frac{-18}{-18} = 1,\quad z = \frac{D_z}{D} = \frac{-18}{-18} = 1.

Resposta

x = 1,\;y = 1,\;z = 1.

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