Em P_{2}(\mathbb{R}) com o produto interno definido por: \langle f(t), g(t)\rangle=\int_{0}^{1} f(t) g(t) d t
a) Ortonormalizar a base \left\{1,1+t, 2 t^{2}\right\};
b) Achar o complemento ortogonal do sub-espaço W=[5,1+t].

Passo 1

O enunciado trabalha em \,P_{2}(\mathbb{R}) com o produto interno
\langle f,g\rangle=\int_{0}^{1}f(t)\,g(t)\,dt
e pede:
  • (a) ortonormalizar a base \{1,\;1+t,\;2t^{2}\} via o processo de Gram–Schmidt;
  • (b) achar o complemento ortogonal de W=\mathrm{span}\{5,\;1+t\}, ou seja, todos os polinômios p(t)=a\,t^{2}+b\,t+c tais que \langle p,5\rangle=0 e \langle p,1+t\rangle=0.

Passo 2

Aplicando Gram–Schmidt à sequência f_{1}=1,\;f_{2}=1+t:
  1. Definimos
u_{1}(t)=\frac{f_{1}(t)}{\|f_{1}\|},\quad\|f_{1}\|=\sqrt{\int_{0}^{1}1^{2}dt}=\sqrt{1}=1,
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u_{1}(t)=1.
  1. Subtraímos de f_{2} sua projeção sobre u_{1}:
\langle f_{2},u_{1}\rangle=\int_{0}^{1}(1+t)\cdot1\,dt=1+\tfrac12=\tfrac32,
v_{2}(t)=f_{2}(t)-\tfrac32\,u_{1}(t)=1+t-\tfrac32=t-\tfrac12,
\|v_{2}\|=\sqrt{\int_{0}^{1}(t-\tfrac12)^{2}dt} =\sqrt{\tfrac{1}{12}}=\frac{1}{2\sqrt3},
u_{2}(t)=\frac{v_{2}(t)}{\|v_{2}\|}=2\sqrt{3}\,\Bigl(t-\tfrac12\Bigr).

Passo 3

Agora ortogonalizamos f_{3}=2t^{2} em relação a u_{1},u_{2}:
  1. Projeção sobre u_{1}:
\langle f_{3},u_{1}\rangle =\int_{0}^{1}2t^{2}\,dt=\tfrac{2}{3}.
  1. Projeção sobre u_{2}:
\langle f_{3},u_{2}\rangle =\int_{0}^{1}2t^{2}\cdot2\sqrt3\,(t-\tfrac12)\,dt =4\sqrt3\int_{0}^{1}(t^{3}-\tfrac12t^{2})dt =4\sqrt3\bigl(\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{6}\bigr) =\tfrac{\sqrt3}{3}.
  1. Definimos
v_{3}(t) =f_{3}(t)-\tfrac{2}{3}\,u_{1}(t)-\tfrac{\sqrt3}{3}\,u_{2}(t) =2t^{2}-\tfrac{2}{3}-2\,(t-\tfrac12) =2t^{2}-2t+\tfrac{1}{3}.
Calcula-se
\|v_{3}\| =\sqrt{\int_{0}^{1}(2t^{2}-2t+\tfrac13)^{2}dt} =\sqrt{\tfrac{1}{45}} =\frac{1}{3\sqrt5},
u_{3}(t)=\frac{v_{3}(t)}{\|v_{3}\|} =3\sqrt5\,\Bigl(2t^{2}-2t+\tfrac13\Bigr) =\sqrt5\,(6t^{2}-6t+1).

Passo 4

A base ortonormal resultante é
u_{1}(t)=1,\quad u_{2}(t)=2\sqrt{3}\,\Bigl(t-\tfrac12\Bigr),\quad u_{3}(t)=\sqrt5\,(6t^{2}-6t+1).

Passo 5

Para W^{\perp} tomamos p(t)=a\,t^{2}+b\,t+c e impomos
\langle p,5\rangle =5\int_{0}^{1}(a\,t^{2}+b\,t+c)\,dt =5\Bigl(\tfrac{a}{3}+\tfrac{b}{2}+c\Bigr)=0 \;\Longrightarrow\; \tfrac{a}{3}+\tfrac{b}{2}+c=0,
\langle p,1+t\rangle =\int_{0}^{1}(a\,t^{2}+b\,t+c)(1+t)\,dt =0 \;\Longrightarrow\; \frac{a}{4}+\frac{a+b}{3}+\frac{b+c}{2}+c=0.
Dessas equações obtém-se b=-6c, a=6c, logo
p(t)=c\,(6t^{2}-6t+1),\quad c\in\mathbb{R}.
Assim
W^{\perp}=\mathrm{span}\{6t^{2}-6t+1\}.

Resposta

(a) Uma base ortonormal é
\bigl\{\,1,\;2\sqrt{3}\,(t-\tfrac12),\;\sqrt5\,(6t^{2}-6t+1)\bigr\}.
(b)
W^{\perp}=\mathrm{span}\{\,6t^{2}-6t+1\}.

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