Calcule o determinante das matrizes abaixo e decida quais são invertíveis:
M=(ccc 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ), P=(cc 2 & -1 8 & -4 ), U=(ccc 1 & 0 & 2 0 & 2 & 1 1 & 0 & -3 ), V=(cccc 0 & 4 & 0 & 2 1 & -1 & 0 & 3 0 & 2 & 1 & 2 0 & 3 & 3 & 0 )

Passo 1

O que temos aqui são quatro matrizes M, P, U e V. O objetivo é calcular det(M), det(P), det(U) e det(V) e, em seguida, decidir quais delas são invertíveis. Lembre-se de que uma matriz é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero.

Passo 2

Para
M= 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ,
vemos que M é triangular superior. O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.
det(M)=1cdot1cdot1=1neq0

Passo 3

Para
P= 2 & -1 8 & -4 ,
usamos a fórmula de 2times2:
det(P)=2cdot(-4)-(-1)cdot8=-8+8=0

Passo 4

Para
U= 1 & 0 & 2 0 & 2 & 1 1 & 0 & -3 ,
vamos expandir pela primeira linha (expansão de Laplace). Como o segundo elemento da primeira linha é zero, só sobram os termos de ordem 1 e 3:
det(U) =1cdotdet2&10&-3 +2cdotdet0&21&0
Calculando cada menor:
det2&10&-3=2cdot(-3)-1cdot0=-6, det0&21&0=0cdot0-2cdot1=-2
Logo,
det(U)=1cdot(-6)+2cdot(-2)=-6-4=-10neq0

Passo 5

Para
V= 0 & 4 & 0 & 2 1 & -1 & 0 & 3 0 & 2 & 1 & 2 0 & 3 & 3 & 0 ,
expandimos pelo primeiro elemento não nulo da primeira coluna (linha 2, coluna 1), cujo valor é 1. O sinal do cofator é (-1)^2+1=-1, e o menor associado é a matriz 3times3 que sobra ao remover a linha 2 e a coluna 1:
det(V) =(-1)cdot1cdot det 4 & 0 & 2 2 & 1 & 2 3 & 3 & 0
Denotando essa 3times3 por W, calculamos
det(W) =4cdotdet1&23&0 +2cdotdet2&13&3
Aqui usamos expansão pela primeira linha de W. Os menores valem
det1&23&0=1cdot0-2cdot3=-6, det2&13&3=2cdot3-1cdot3=3
Então
det(W)=4cdot(-6)+2cdot3=-24+6=-18, det(V)=-1cdot(-18)=18neq0

Resposta

det(M)=1, invertível.
det(P)=0, não invertível.
det(U)=-10, invertível.
det(V)=18, invertível.

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