A partir das operações não usuais e definidas em cada um dos itens, determine se o conjunto
é um Espaço Vetorial. Se não for, identifique TODOS os axiomas que não são válidos.
Adição:
/Multiplicação por um escalar:
, com
Adição:
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos o conjunto
equipado com as operações
adição
adição
e multiplicação por escalar
Queremos verificar se, com essas operações,
satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial (fechamento, comutatividade e associatividade da adição, existência de vetor nulo e inverso aditivo, compatibilidade e identidade da multiplicação escalar, e as duas distributividades).
Passo 2
Fechamento e associatividade da adição
A adição definida acima é fechada em porque o resultado
é sempre um par de reais. Para verificar associatividade, tomemos três vetores
,
. Então
A adição definida acima é fechada em
Como ambos dão
, a adição é associativa.
Passo 3
Comutatividade da adição
Comparando
Comparando
vemos que, em geral,
(salvo se
). Logo a adição não é comutativa.
Passo 4
Existência do vetor nulo
Procuramos tal que para todo
valha
Procuramos
e também
o que é impossível. Portanto não existe vetor nulo que funcione dos dois lados.
Passo 5
Existência de inverso aditivo
Como não há vetor nulo, não faz sentido falar em um vetor que some com
e dê o nulo. Logo o axioma do inverso aditivo também falha.
Como não há vetor nulo, não faz sentido falar em um vetor
Passo 6
Compatibilidade e elemento neutro da multiplicação escalar
Para e
temos
Para
e
Logo valem a compatibilidade
e o elemento neutro
.
Passo 7
Distributividade sobre adição de vetores
Para e
e escalar
,
Para
enquanto
Portanto
vale.
Passo 8
Distributividade sobre adição de escalares
Para e
,
Para
porém
Em geral
, então
falha.
Passo 9
Como não se satisfazem (i) comutatividade da adição, (ii) existência de vetor nulo, (iii) existência de inverso aditivo e (iv) distributividade da multiplicação escalar sobre a soma de escalares, o conjunto com essas operações não é um espaço vetorial.
Resposta
Falham os axiomas de comutatividade da adição, existência de vetor nulo, existência de inverso aditivo e distributividade da multiplicação escalar sobre adição de escalares.