A partir das operações não usuais e definidas em cada um dos itens, determine se o conjunto R^2 é um Espaço Vetorial. Se não for, identifique TODOS os axiomas que não são válidos.
Adição: (x1, y1)+(x2, y2)=(x1, y1+y2) /Multiplicação por um escalar: c(x1, y1)=(c x1, y1), com c in R

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos o conjunto R^2 equipado com as operações
adição
(x1,y1)+(x2,y2) ;=;(x1,;y1+y2)
e multiplicação por escalar
c,(x1,y1) ;=;(c,x1,;y1), cinR
Queremos verificar se, com essas operações, R^2 satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial (fechamento, comutatividade e associatividade da adição, existência de vetor nulo e inverso aditivo, compatibilidade e identidade da multiplicação escalar, e as duas distributividades).

Passo 2

Fechamento e associatividade da adição
A adição definida acima é fechada em R^2 porque o resultado (x1,y1+y2) é sempre um par de reais. Para verificar associatividade, tomemos três vetores (xi,yi), i=1,2,3. Então
((x1,y1)+(x2,y2))+(x3,y3) =(x1,y1+y2)+(x3,y3) =(x1,;y1+y2+y3)
(x1,y1)+((x2,y2)+(x3,y3)) =(x1,y1)+(x2,y2+y3) =(x1,;y1+y2+y3)
Como ambos dão (x1,y1+y2+y3), a adição é associativa.

Passo 3

Comutatividade da adição
Comparando
(x1,y1)+(x2,y2)=(x1,y1+y2) e (x2,y2)+(x1,y1)=(x2,y2+y1),
vemos que, em geral, (x1,y1+y2)neq(x2,y2+y1) (salvo se x1=x2). Logo a adição não é comutativa.

Passo 4

Existência do vetor nulo
Procuramos (a,b)inR^2 tal que para todo (x,y) valha
(x,y)+(a,b)=(x,y) Longrightarrow (x,y+b)=(x,y),Rightarrow,b=0
e também
(a,b)+(x,y)=(x,y) Longrightarrow (a,y)=(x,y),Rightarrow,a=x forall x,
o que é impossível. Portanto não existe vetor nulo que funcione dos dois lados.

Passo 5

Existência de inverso aditivo
Como não há vetor nulo, não faz sentido falar em um vetor -(x,y) que some com (x,y) e dê o nulo. Logo o axioma do inverso aditivo também falha.

Passo 6

Compatibilidade e elemento neutro da multiplicação escalar
Para a,binR e (x,y) temos
al(b,(x,y)r) =a,(b x,y) =(ab,x,y) =(ab),(x,y),
e
1,(x,y)=(1cdot x,y)=(x,y)
Logo valem a compatibilidade ,a(bv)=(ab)v e o elemento neutro 1cdot v=v.

Passo 7

Distributividade sobre adição de vetores
Para (x1,y1) e (x2,y2) e escalar c,
cl((x1,y1)+(x2,y2)r) =c,(x1,y1+y2) =(c x1,;y1+y2)
enquanto
c,(x1,y1)+c,(x2,y2) =(c x1,y1)+(c x2,y2) =(c x1,;y1+y2)
Portanto c(u+v)=cu+cv vale.

Passo 8

Distributividade sobre adição de escalares
Para a,binR e (x,y),
(a+b),(x,y)=l((a+b)x,;yr)
porém
a,(x,y)+b,(x,y) =(a x,y)+(b x,y) =(a x,;y+y) =(a x,;2y)
Em geral l((a+b)x,yr)neq(a x,2y), então (a+b)v=av+bv falha.

Passo 9

Como não se satisfazem (i) comutatividade da adição, (ii) existência de vetor nulo, (iii) existência de inverso aditivo e (iv) distributividade da multiplicação escalar sobre a soma de escalares, o conjunto com essas operações não é um espaço vetorial.

Resposta

R^2 com as operações dadas não é espaço vetorial.
Falham os axiomas de comutatividade da adição, existência de vetor nulo, existência de inverso aditivo e distributividade da multiplicação escalar sobre adição de escalares.

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