Seja A uma matriz invertível de ordem n times n, faça o que se pede nos itens abaixo:
(a) Mostre que para qualquer matriz B de ordem n times m, existe uma matriz X de ordem n times m tal que A cdot X=B.
(b) Ache X tal que R cdot X=N, onde R e N são como no exercício 2 .
(c) Mostre que para qualquer matriz B de ordem m times n, existe uma matriz X de ordem m times n tal que X cdot A=B.
(d) Ache X tal que X cdot R=T, onde R e T são como no exercício 2 .

Passo 1

O enunciado trabalha com matrizes quadradas invertíveis e sistemas de equações matriciais do tipo
A X = B e X A = B,
onde A é invertível. Nos itens (a) e (c) basta usar a definição de inversa para mostrar existência e dar a forma explícita de X. Já os itens (b) e (d) pedem casos particulares envolvendo matrizes R, N e T definidas no exercício 2, mas esses dados não foram fornecidos.

Passo 2

Para o item (a) queremos resolver
A,X = B,
com A invertível de ordem ntimes n e B de ordem ntimes m. Multiplicando à esquerda por A^-1, obtemos
X = A^-1(A,X) = A^-1B
Isso mostra que existe (e é dado por X = A^-1B) uma matriz X de ordem ntimes m que satisfaz A,X=B.

Passo 3

Para o item (c) queremos resolver
X,A = B,
onde agora B é de ordem mtimes n. Multiplicando à direita por A^-1, segue
X = (X,A)A^-1 = B,A^-1
Logo existe (e é dada por X = B,A^-1) uma matriz X de ordem mtimes n que satisfaz X,A=B.

Passo 4

No item (b) pede-se encontrar X tal que
R,X = N,
onde R e N são as matrizes do exercício 2. Como esses valores não foram fornecidos, não há como determinar explicitamente X. Em geral, se R for invertível, teríamos X = R^-1N, mas não podemos aplicá-lo sem os dados de R e N.

Passo 5

No item (d) pede-se encontrar X tal que
X,R = T,
com R e T do exercício 2. Pelo mesmo motivo do item (b) — ausência dos dados de R e T — não é possível dar a forma de X. Se R fosse invertível, seria X = T,R^-1.

Resposta

(a) X = A^-1B.
(b) Não é possível determinar sem os dados de R e N.
(c) X = B,A^-1.
(d) Não é possível determinar sem os dados de R e T.

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