Calcule o determinante da matrizes abaixo e e discuta se são inversíveis.
A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & 4 \\\\ 5 & 6 & 0\end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & -1 \\\\ 3 & 1 & 2 \\\\ 4 & -2 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante de duas matrizes 3\times3:
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 1 & 4\\\\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1\\\\ 3 & 1 & 2\\\\ 4 & -2 & 0 \end{pmatrix},
e discutir se são inversíveis. Vamos usar a regra de Sarrus para determinante de matrizes 3\times3 e lembrar que uma matriz é inversível \iff seu determinante for diferente de zero.

Passo 2

A regra de Sarrus para uma matriz
\displaystyle M=\begin{pmatrix} m_{11}&m_{12}&m_{13}\\\ m_{21}&m_{22}&m_{23}\\\ m_{31}&m_{32}&m_{33} \end{pmatrix}
\det(M) = m_{11}m_{22}m_{33} + m_{12}m_{23}m_{31} + m_{13}m_{21}m_{32} - m_{13}m_{22}m_{31} - m_{11}m_{23}m_{32} - m_{12}m_{21}m_{33}.

Passo 3

Aplicando em A:
\det(A) = 1\cdot1\cdot0 + 2\cdot4\cdot5 + 3\cdot0\cdot6 - \bigl(3\cdot1\cdot5 + 1\cdot4\cdot6 + 2\cdot0\cdot0\bigr) = 0 + 40 + 0 - (15 + 24 + 0) = 40 - 39 = 1.

Passo 4

Aplicando em B:
\det(B) = 2\cdot1\cdot0 + 0\cdot2\cdot4 + (-1)\cdot3\cdot(-2) - \bigl((-1)\cdot1\cdot4 + 2\cdot2\cdot(-2) + 0\cdot3\cdot0\bigr) = 0 + 0 + 6 - \bigl(-4 - 8 + 0\bigr) = 6 - (-12) = 18.

Passo 5

Como \det(A)=1\neq0 e \det(B)=18\neq0, ambas as matrizes são inversíveis.

Resposta

\det(A)=1, inversível.
\det(B)=18, inversível.

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