Calcule o determinante das matrizes abaixo fazendo uso do exercício anterior e/ou das propriedades do determinante.
J=[rrrr3 & 2 & -1 & 0 0 & -1 & 1 & 4 2 & 3 & -3 & -2 0 & 2 & -2 & -4].

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
J = 3 & 2 & -1 & 0 0 & -1 & 1 & 4 2 & 3 & -3 & -2 0 & 2 & -2 & -4
usando propriedades de determinantes (por exemplo, expansão por cofatores ou operações elementares). Aqui vamos usar a expansão pela primeira coluna, que tem dois zeros, para simplificar o cálculo.

Passo 2

Ao expandir det(J) pela primeira coluna, só contribuem as entradas a11=3 e a31=2. Assim
det(J) =3cdot C11 +2cdot C31,
onde Ci1=(-1)^,i+1det(Mi1) e Mi1 é o menor obtido ao riscar a linha i e a coluna 1.

Passo 3

Para i=1 temos C11=(-1)^2det(M11)=det(M11), com
M11= -1 & 1 & 4 3 & -3 & -2 2 & -2 & -4
Note que as duas últimas linhas de M11 são proporcionais, logo det(M11)=0. Portanto a contribuição de a11 é
3cdot C11=3cdot0=0

Passo 4

Para i=3 temos C31=(-1)^4det(M31)=det(M31), com
M31= 2 & -1 & 0 -1 & 1 & 4 2 & -2 & -4
Expandindo det(M31) pela terceira coluna:
det(M31) =0 -4cdot(-1)^2+3det!2&-12&-2 -4cdot(-1)^3+3det!2&-1-1&1
Calculando os menores:
det!2&-12&-2=2cdot(-2)-(-1)cdot2=-2, det!2&-1-1&1=2cdot1-(-1)(-1)=1
Logo
det(M31) =-4l(-2r)-4l(1r) =8-4=4
Portanto a contribuição de a31 é 2cdot C31=2cdot4=8.

Resposta

O determinante é det(J)=0+8=8.

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