Calcule o determinante das matrizes abaixo utilizando operações elementares e utilizando o desenvolvimento de Laplace:
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule o determinante de quatro matrizes, usando dois métodos: operações elementares (tipo adicionar múltiplo de uma linha a outra, trocar linhas ou escalar uma linha) e desenvolvimento de Laplace (minors e cofatores). Vamos chamar as matrizes de
Para cada uma delas vamos primeiro usar operações de linha para triangularizar e obter o produto dos pivôs, depois refazer pelo Laplace, expandindo por uma linha ou coluna com zeros para ficar rápido.
Passo 2
Determinante de A por operações elementares. 1. Substituímos a linha 2 por 2,L2 - 3,L1 (isso equivale a fazer L2 L2 - tfrac32L1 e depois escalar por 2, no final a operação multiplica o determinante original por 2):
L2 >=ts 2L2 - 3L1
2. Substituímos a linha 3 por L3 - 2,L1 (operação do tipo “somar múltiplo de linha”, que não altera o determinante):
L3 >=ts L3 - 2L1
Após isso, a matriz fica
2 & 0 & -1 0 & 0 & 7 0 & -3 & 9
e o determinante desta nova matriz vale
det = (-1)^2+3cdot7cdotdet!2&00&-3 = -7,(2cdot(-3)-0)=42
Como escalamos a linha 2 por 2, temos 42=2det(A), logo
det(A)=422=21
Passo 3
Determinante de A por Laplace.
Escolhemos expandir ao longo da segunda coluna, que tem dois zeros: