Calcule o determinante das matrizes abaixo utilizando operações elementares e utilizando o desenvolvimento de Laplace:
(ccc 2 & 0 & -1 3 & 0 & 2 4 & -3 & 7 ), (ccc 1 & -2 & 4 2 & -3 & 5 3 & -4 & 6 ), (ccc 3 & 0 & 1 2 & 4 & 6 -4 & 1 & 2 ) e (cccc 1 & 0 & 1 & 1 2 & 5 & 1 & 1 3 & -1 & 4 & 1 1 & 2 & 0 & 1 )

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o determinante de quatro matrizes, usando dois métodos: operações elementares (tipo adicionar múltiplo de uma linha a outra, trocar linhas ou escalar uma linha) e desenvolvimento de Laplace (minors e cofatores). Vamos chamar as matrizes de
A = 2 & 0 & -1 3 & 0 & 2 4 & -3 & 7 , B = 1 & -2 & 4 2 & -3 & 5 3 & -4 & 6 , C = 3 & 0 & 1 2 & 4 & 6 -4 & 1 & 2
D = 1 & 0 & 1 & 1 2 & 5 & 1 & 1 3 & -1 & 4 & 1 1 & 2 & 0 & 1
Para cada uma delas vamos primeiro usar operações de linha para triangularizar e obter o produto dos pivôs, depois refazer pelo Laplace, expandindo por uma linha ou coluna com zeros para ficar rápido.

Passo 2

Determinante de A por operações elementares.
1. Substituímos a linha 2 por 2,L2 - 3,L1 (isso equivale a fazer L2 L2 - tfrac32L1 e depois escalar por 2, no final a operação multiplica o determinante original por 2):
L2 >=ts 2L2 - 3L1
2. Substituímos a linha 3 por L3 - 2,L1 (operação do tipo “somar múltiplo de linha”, que não altera o determinante):
L3 >=ts L3 - 2L1
Após isso, a matriz fica
2 & 0 & -1 0 & 0 & 7 0 & -3 & 9
e o determinante desta nova matriz vale
det = (-1)^2+3cdot7cdotdet!2&00&-3 = -7,(2cdot(-3)-0)=42
Como escalamos a linha 2 por 2, temos 42=2det(A), logo
det(A)=422=21

Passo 3

Determinante de A por Laplace.
Escolhemos expandir ao longo da segunda coluna, que tem dois zeros:
det(A) =sumi=1^3(-1)^i+2ai2det(Mi2) =(-1)^3+2(-3)det2&-13&2 =3l(2cdot2 -3cdot(-1)r) =3cdot7=21

Passo 4

Determinante de B por operações elementares.
1. L2 >=ts L2 - 2,L1, L3 >=ts L3 - 3,L1.
Isso gera
1 & -2 & 4 0 & 1 & -3 0 & 2 & -6
2. Agora triangular: expandindo pela primeira coluna,
det(B)=1cdotdet1&-32&-6 =1,(1cdot(-6)-2cdot(-3))= -6+6=0

Passo 5

Determinante de B por Laplace.
Podemos abrir em, por exemplo, toda a primeira linha:
det(B) =1det!-3&5-4&6 -(-2)det!2&53&6 +4det!2&-33&-4
Cálculo rápido:
1cdot((-3)cdot6-5cdot(-4)) +2cdot(2cdot6-5cdot3) +4cdot(2cdot(-4)-(-3)cdot3) =1cdot2 +2cdot(-3) +4cdot1 =2-6+4=0

Passo 6

Determinante de C por operações elementares.
1. L2>=ts L2 - tfrac23L1, L3>=ts L3 + tfrac43L1 (não muda o determinante).
Fica
3 & 0 & 1 0 & 4 & tfrac163 0 & 1 & tfrac103
2. L3>=ts L3 - tfrac14L2 (também não altera o determinante), obtendo
3 & 0 & 1 0 & 4 & tfrac163 0 & 0 & 2
Então
det(C)=3cdot4cdot2=24

Passo 7

Determinante de C por Laplace.
Expandimos pela primeira linha:
det(C) =3det!4&61&2 -0 +1det!2&4-4&1 =3(4cdot2-6cdot1)+(2cdot1-4cdot(-4)) =3cdot2 + (2+16) =6+18=24

Passo 8

Determinante de D por operações elementares.
1. L2>=ts L2-2L1, L3>=ts L3-3L1, L4>=ts L4-L1.
Isso gera
1 & 0 & 1 & 1 0 & 5 & -1 & -1 0 & -1 & 1 & -2 0 & 2 & -1 & 0
2. Agora det(D)=1 vez o determinante do menor 3times 3 extraído das colunas 2 4 e linhas 2 4:
M= 5 & -1 & -1 -1 & 1 & -2 2 & -1 & 0 , det(M)=-5
Logo det(D)=1cdot(-5)=-5

Passo 9

Determinante de D por Laplace.
Expandindo pela primeira linha:
det(D) =1cdot A - 0cdot B +1cdot C -1cdot D
onde
A=det5&1&1-1&4&12&0&1=15, C=det2&5&13&-1&11&2&1=-9,
D=det2&5&13&-1&41&2&0=11,
com o sinal de D vindo de (-1)^1+4=-1.
Portanto
det(D)=15 +(-9) +(-11)=-5

Resposta

det(A)=21, det(B)=0, det(C)=24, det(D)=-5

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