Calcule os valores de a e b de modo que o sistema x+2 y+2 z & =a 3 x+6 y-4 z & =4 x+b y-6 z & =1 seja SPI e resolva-o para estes valores.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com parâmetros
e pede que ele seja SPI (Sistema Possível e Indeterminado), isto é, que tenha infinitas soluções. Para isso precisamos que a matriz dos coeficientes seja singular ((\det=0]) e que o sistema permaneça compatível (posto da matriz estendida igual ao posto da matriz dos coeficientes).

Passo 2

Montamos a matriz dos coeficientes
A = 1 & 2 & 2 3 & 6 & -4 1 & b & -6
e calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
det(A) =1cdotdet6 & -4 b & -6 -2cdotdet3 & -4 1 & -6 +2cdotdet3 & 6 1 & b
Fazendo as contas chega-se a
det(A)=10l(b-2r)
Para singularidade, exigimos
det(A)=0Longrightarrow b=2

Passo 3

Com [b=2), a matrizes e a aumentada
devem ter o mesmo posto para haver compatibilidade. Usamos as duas primeiras equações para eliminar e na terceira:
Das equações
subtraímos membro a membro e obtemos
Para compatibilidade, esse (z] também deve satisfazer a segunda equação original. Multiplicando a primeira por 3 e subtraindo a segunda:

Passo 4

Substituindo z=(a-1)/8 em 10z=3a-4
10cdota-18=3a-4 Longrightarrow 10(a-1)8=3a-4 Longrightarrow 10(a-1)=8(3a-4)
10a-10=24a-32 Longrightarrow 14a=22 Longrightarrow a=tfrac117

Passo 5

Para b=2 e a=tfrac117, voltamos ao sistema e já sabemos
z=a-18=tfrac117-18=4/78=114
Da primeira equação
x+2y+2z=a Longrightarrow x+2y = a-2z = 117-2cdot114 = 107
Como temos infinitas soluções, escolhemos y livre, digamos y=t. Então
x = 107-2t, y=t, z=114,
com tinR.

Resposta

Os valores que tornam o sistema SPI são
a=117, b=2
A solução geral, com parâmetro t, é
l(x,y,zr) =l(107-2t,;t,;114r), tinR

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