Verifique se a matriz abaixo é invertível. Em caso afirmativo, indique a inversa:
(rrr 1 & 2 & -4 -1 & -1 & 5 2 & 7 & 3 )

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 1 & 2 & -4 -1 & -1 & 5 2 & 7 & 3
é invertível e, em caso afirmativo, determinar A^-1.
O conteúdo é Álgebra Linear: vamos calcular det(A) para checar a invertibilidade e depois usar cofatores e adjunta para obter a inversa.

Passo 2

Calculemos o determinante de A por expansão na primeira linha:
det(A) =1cdotdet-1 & 57 & 3 -2cdotdet-1 & 52 & 3 +(-4)cdotdet-1 & -12 & 7
Agora cada menor:
det-1 & 57 & 3 =(-1)cdot3-5cdot7=-3-35=-38,
det-1 & 52 & 3 =(-1)cdot3-5cdot2=-3-10=-13,
det-1 & -12 & 7 =(-1)cdot7-(-1)cdot2=-7+2=-5
Logo,
det(A) =1cdot(-38)-2cdot(-13)+(-4)cdot(-5) =-38+26+20=8
Como det(A)=8neq0, A é invertível.

Passo 3

Para montar a matriz de cofatores, calculamos os menores e aplicamos o sinal :
Menores e cofatores :
Portanto a matriz de cofatores é

Passo 4

A adjunta de é a transposta da matriz de cofatores:
Logo

Passo 5

Podemos também expressar cada entrada em forma de fração reduzida:
A^-1 = -tfrac194 & -tfrac174 & tfrac34[6pt] tfrac138 & tfrac118 & -tfrac18[6pt] -tfrac58 & -tfrac38 & tfrac18 ]

Resposta

A^-1 =18 -38 & -34 & 6 13 & 11 & -1 -5 & -3 & 1

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