Determinante da matriz B (matriz 4\times4). Vou escolher expansão por cofactores ao longo da primeira coluna porque nessa coluna há zeros, o que simplifica bastante.
Regra usada (cofactor expansion): para qualquer matriz 4\times4,
Determinante da matriz C (matriz 5\times5). Vou usar eliminação por operações elementares sobre linhas até obter uma matriz triangular superior; o determinante da triangular é o produto dos elementos da diagonal, ajustando apenas quando houver troca de linhas ou multiplicação de uma linha por escalar.
Regras importantes que usei (explicação didática):
Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
Somar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
Multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k. (No procedimento abaixo evitei multiplicar linhas por escalares exceto quando inevitável; preferi combinações que não alteram o determinante.)
R_5 \leftarrow R_5 + \tfrac{1}{2}R_2 (adição de múltiplo de outra linha; não altera \det): \tfrac{1}{2}R_2=[0,1,-2,\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}],
então R_5=[0,0,-10,\tfrac{9}{2},-\tfrac{17}{2}].
Agora foco na submatriz 3\times3 envolvendo colunas 3–5 e linhas 3–5. Pivot em (3,3)=-2. Eleimino abaixo:
R_4\leftarrow R_4 + 4R_3 (pois 8 + 4\cdot(-2)=0), operação que não altera \det. Calculando apenas as entradas relevantes: R_4 passa a ser [0,0,0,9,-3].
R_5\leftarrow R_5 - 5R_3 (pois -10 -5\cdot(-2)=0), também sem alterar \det. R_5 passa a ser [0,0,0,-\tfrac{11}{2},\tfrac{3}{2}].
Finalmente, para zerar a entrada -\tfrac{11}{2} em (5,4) uso R_4:
R_5 \leftarrow R_5 + \tfrac{11}{18}R_4. Isso zera a posição (5,4) porque -\tfrac{11}{2} + \tfrac{11}{18}\cdot 9 = -\tfrac{11}{2} + \tfrac{11}{2} = 0. Essa operação também não altera \det.
O novo R_5 tem somente a última entrada não nula, que fica
Agora a matriz está triangular superior, cujos elementos diagonais são 1,2,-2,9,-\tfrac{1}{3}. Lembre-se: fizemos UMA troca de linhas (que multiplicou o determinante por -1); todas as outras operações foram soma de múltiplos de linhas (não mudam o determinante).
Portanto o determinante da matriz após a troca (ou seja, do sistema de linhas atual) é o produto dos diagonais:
\det(\text{matriz após troca}) = 1\cdot 2\cdot(-2)\cdot 9\cdot\big(-\tfrac{1}{3}\big) = 12.ó
Como essa é a matriz obtida depois de UMA troca de linhas, o determinante original de C é o oposto: