Calcule o determinante das matrizes
A=\left(\begin{array}{lll} 4 & 0 & 1 \\\\ 3 & 1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{llll} 2 & 1 & 3 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right) \quad \text { e } \quad C=\left(\begin{array}{rrrrr} 1 & 0 & 3 & -1 & 2 \\\\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 2 & -1 & 0 & 1 \\\\ -2 & 0 & 2 & 3 & 1 \\\\ 3 & -1 & 1 & 1 & -2 \end{array}\right) .

Passo 1

O que o exercício pede: calcular os determinantes das três matrizes A, B e C.
As matrizes dadas (copiadas do enunciado) são:
A=\begin{pmatrix} 4 & 0 & 1 \\\\ 3 & 1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -1 & 2 \\\\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 2 & -1 & 0 & 1 \\\\ -2 & 0 & 2 & 3 & 1 \\\\ 3 & -1 & 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}.
Informações relevantes:
  • Queremos \det(A), \det(B) e \det\text{(C)}.
  • Todas as entradas das matrizes estão explícitas no enunciado acima.

Passo 2

Determinante da matriz A (matriz 3\times3). Vou usar a regra de Sarrus, que é uma forma rápida para 3\times3.
Breve explicação da regra de Sarrus: para
M=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix},
temos
\det(M)=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} - \big(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}\big).
Cada termo é um produto de três elementos seguindo as diagonais “para frente” (positivos) e “para trás” (negativos).
Aplicando em A:
os elementos são a_{11}=4, a_{12}=0, a_{13}=1, a_{21}=3, a_{22}=1, a_{23}=3, a_{31}=0, a_{32}=1, a_{33}=2.
Calculemos os termos positivos:
4\cdot 1\cdot 2 = 8,\qquad 0\cdot 3\cdot 0 = 0,\qquad 1\cdot 3\cdot 1 = 3,
soma dos positivos =8+0+3=11.
Termos negativos:
1\cdot 1\cdot 0 = 0,\qquad 4\cdot 3\cdot 1=12,\qquad 0\cdot 3\cdot 2=0,
soma dos negativos =0+12+0=12.
Logo
\det(A)=11-12=-1.

Passo 3

Determinante da matriz B (matriz 4\times4). Vou escolher expansão por cofactores ao longo da primeira coluna porque nessa coluna há zeros, o que simplifica bastante.
Regra usada (cofactor expansion): para qualquer matriz 4\times4,
\det(B)=\sum_{i=1}^{4} (-1)^{i+1} b_{i1}\det(M_{i1}),
onde M_{i1} é o menor que se obtém removendo a i-ésima linha e a primeira coluna.
Na primeira coluna de B temos os elementos 2,1,0,0. Portanto só os dois primeiros contribuem:
\det(B)=2\cdot\det(M_{11}) - 1\cdot\det(M_{21}).
(Aqui o sinal do segundo termo é negativo porque (-1)^{2+1}=-1.)
Agora montamos os menores (peguei os dados da matriz B original para formar os menores):
M_{11}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix},\qquad M_{21}=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}.
Vamos calcular \det(M_{11}) por Sarrus. Denotando os elementos de M_{11} como antes:
Positivos:
0\cdot 1\cdot 3 = 0,\qquad 1\cdot 0\cdot 1 = 0,\qquad 1\cdot 2\cdot 2 = 4,
soma =4.
Negativos:
1\cdot 1\cdot 1 = 1,\qquad 0\cdot 0\cdot 2 = 0,\qquad 1\cdot 2\cdot 3 = 6,
soma =7.
Logo \det(M_{11})=4-7=-3.
Agora \det(M_{21}):
Positivos:
1\cdot 1\cdot 3 = 3,\qquad 3\cdot 0\cdot 1 = 0,\qquad 1\cdot 2\cdot 2 = 4,
soma =7.
Negativos:
1\cdot 1\cdot 1 = 1,\qquad 1\cdot 0\cdot 2 = 0,\qquad 3\cdot 2\cdot 3 = 18,
soma =19.
Logo \det(M_{21})=7-19=-12.
Portanto
\det(B)=2\cdot(-3) - (-12) = -6 + 12 = 6.

Passo 4

Determinante da matriz C (matriz 5\times5). Vou usar eliminação por operações elementares sobre linhas até obter uma matriz triangular superior; o determinante da triangular é o produto dos elementos da diagonal, ajustando apenas quando houver troca de linhas ou multiplicação de uma linha por escalar.
Regras importantes que usei (explicação didática):
  • Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
  • Somar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
  • Multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k. (No procedimento abaixo evitei multiplicar linhas por escalares exceto quando inevitável; preferi combinações que não alteram o determinante.)
Começamos com
C=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -1 & 2 \\\\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 2 & -1 & 0 & 1 \\\\ -2 & 0 & 2 & 3 & 1 \\\\ 3 & -1 & 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}.
Passo de eliminação na coluna 1 (uso R_i para indicar a i-ésima linha):
  • R_2\leftarrow R_2-R_1 (não altera \det): R_2=[0,0,-2,2,-2].
  • R_3\leftarrow R_3-R_1 (não altera \det): R_3=[0,2,-4,1,-1].
  • R_4\leftarrow R_4+2R_1 (não altera \det): R_4=[0,0,8,1,5].
  • R_5\leftarrow R_5-3R_1 (não altera \det): R_5=[0,-1,-8,4,-8].
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -1 & 2 \\\\ 0 & 0 & -2 & 2 & -2 \\\\ 0 & 2 & -4 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0 & 8 & 1 & 5 \\\\ 0 & -1 & -8 & 4 & -8 \end{pmatrix}.
Agora quero pivotar na segunda coluna; o elemento em (2,2) é zero, então troco R_2 com R_3 (essa troca muda o sinal do determinante):
  • Troca R_2 \leftrightarrow R_3: multiplicamos \det por -1.
    A matriz passa a ser
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -1 & 2 \\\\ 0 & 2 & -4 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0 & -2 & 2 & -2 \\\\ 0 & 0 & 8 & 1 & 5 \\\\ 0 & -1 & -8 & 4 & -8 \end{pmatrix}.
Agora elimino a entrada -1 em (5,2) usando R_2:
  • R_5 \leftarrow R_5 + \tfrac{1}{2}R_2 (adição de múltiplo de outra linha; não altera \det):
    \tfrac{1}{2}R_2=[0,1,-2,\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}],
    então R_5=[0,0,-10,\tfrac{9}{2},-\tfrac{17}{2}].
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -1 & 2 \\\\ 0 & 2 & -4 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0 & -2 & 2 & -2 \\\\ 0 & 0 & 8 & 1 & 5 \\\\ 0 & 0 & -10 & \tfrac{9}{2} & -\tfrac{17}{2} \end{pmatrix}.
Agora foco na submatriz 3\times3 envolvendo colunas 3–5 e linhas 3–5. Pivot em (3,3)=-2. Eleimino abaixo:
  • R_4\leftarrow R_4 + 4R_3 (pois 8 + 4\cdot(-2)=0), operação que não altera \det. Calculando apenas as entradas relevantes:
    R_4 passa a ser [0,0,0,9,-3].
  • R_5\leftarrow R_5 - 5R_3 (pois -10 -5\cdot(-2)=0), também sem alterar \det.
    R_5 passa a ser [0,0,0,-\tfrac{11}{2},\tfrac{3}{2}].
Agora temos
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -1 & 2 \\\\ 0 & 2 & -4 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0 & -2 & 2 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 9 & -3 \\\\ 0 & 0 & 0 & -\tfrac{11}{2} & \tfrac{3}{2} \end{pmatrix}.
Finalmente, para zerar a entrada -\tfrac{11}{2} em (5,4) uso R_4:
  • R_5 \leftarrow R_5 + \tfrac{11}{18}R_4. Isso zera a posição (5,4) porque -\tfrac{11}{2} + \tfrac{11}{18}\cdot 9 = -\tfrac{11}{2} + \tfrac{11}{2} = 0. Essa operação também não altera \det.
O novo R_5 tem somente a última entrada não nula, que fica
\text{entrada }(5,5)=\tfrac{3}{2} + \tfrac{11}{18}\cdot(-3)=\tfrac{3}{2} - \tfrac{11}{6} = -\tfrac{1}{3}.
Agora a matriz está triangular superior, cujos elementos diagonais são 1,2,-2,9,-\tfrac{1}{3}. Lembre-se: fizemos UMA troca de linhas (que multiplicou o determinante por -1); todas as outras operações foram soma de múltiplos de linhas (não mudam o determinante).
Portanto o determinante da matriz após a troca (ou seja, do sistema de linhas atual) é o produto dos diagonais:
\det(\text{matriz após troca}) = 1\cdot 2\cdot(-2)\cdot 9\cdot\big(-\tfrac{1}{3}\big) = 12.ó
Como essa é a matriz obtida depois de UMA troca de linhas, o determinante original de C é o oposto:
\det\text{(C)} = -\,12.

Resposta

\det(A)=-1\
\det(B)=6\
\det\text{(C)}=-12

Exercícios relacionados