Verifique se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico se a resposta for verdadeira, ou um exemplo para mostrar que a afirmação é falsa.
\operatorname{Se} \operatorname{det}(A)=1, então \operatorname{det}\left(A^{-1}\right)=1.

Passo 1

O enunciado afirma: "Se \operatorname{det}(A)=1, então \operatorname{det}\bigl(A^{-1}\bigr)=1".
Informações dadas e suposições implícitas que vamos usar:
  • Foi dada \operatorname{det}(A)=1.
  • Aparece A^{-1}, então implicitamente estamos falando de uma matriz quadrada A que admite inversa (ou seja, A é invertível).
    A pergunta é: a afirmação é verdadeira ou falsa? Precisamos justificar.

Passo 2

Conceitos e propriedades fundamentais que vou usar (explicadas de forma clara):
  1. Propriedade multiplicativa do determinante: para matrizes quadradas A e B do mesmo tamanho vale
\operatorname{det}(AB)=\operatorname{det}(A)\,\operatorname{det}(B).
Explicação rápida: o determinante é uma função que, entre outras coisas, transforma produto de transformações lineares no produto dos seus fatores escalares — por isso é multiplicativo. No exame, essa propriedade é frequentemente usada sem demonstrar cada vez (mas ela pode ser provada a partir das propriedades que definem o determinante).
  1. Determinante da matriz identidade: se I é a matriz identidade (mesma ordem de A), então
\operatorname{det}(I)=1.
Justificação simples: a identidade representa a transformação que não muda nada; o fator de escala dessa transformação é 1.
  1. Critério de invertibilidade: A é invertível se, e somente se, \operatorname{det}(A)\neq 0.
    Consequência prática: se aparece A^{-1} no enunciado, então sabemos que \operatorname{det}(A)\neq 0.

Passo 3

Aplicando as propriedades ao par A e A^{-1}: como A é invertível, AA^{-1}=I. Usando a propriedade multiplicativa do determinante,
\operatorname{det}(AA^{-1})=\operatorname{det}(A)\,\operatorname{det}\bigl(A^{-1}\bigr).
Mas \operatorname{det}(AA^{-1})=\operatorname{det}(I)=1. Portanto
\operatorname{det}(A)\,\operatorname{det}\bigl(A^{-1}\bigr)=1.

Passo 4

Agora substituímos a informação dada \operatorname{det}(A)=1 na igualdade anterior:
1\cdot\operatorname{det}\bigl(A^{-1}\bigr)=1.
Logo
\operatorname{det}\bigl(A^{-1}\bigr)=1.
Esse é o argumento lógico que prova a afirmação para qualquer matriz quadrada invertível A com \operatorname{det}(A)=1.

Passo 5

Para fixar com um exemplo concreto (só para intuir, não para provar): tome
A=\begin{pmatrix}2 & 3 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}.
Calculamos \operatorname{det}(A)=2\cdot2-3\cdot1=4-3=1. Como o determinante é 1, a inversa é, pela fórmula de 2\times2,
A^{-1}=\begin{pmatrix}2 & -3 \\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix},
e verificamos \operatorname{det}\bigl(A^{-1}\bigr)=2\cdot2-(-3)\cdot(-1)=4-3=1. Isso ilustra que a conclusão funciona em um caso concreto.]

Resposta

Verdadeira.

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