Verifique se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico se a resposta for verdadeira, ou um exemplo para mostrar que a afirmação é falsa.
, então
.
Passo 1
O enunciado afirma: "Se
, então
".
Informações dadas e suposições implícitas que vamos usar:
Informações dadas e suposições implícitas que vamos usar:
- Foi dada
. - Aparece
, então implicitamente estamos falando de uma matriz quadrada que admite inversa (ou seja, é invertível).
A pergunta é: a afirmação é verdadeira ou falsa? Precisamos justificar.
Passo 2
Conceitos e propriedades fundamentais que vou usar (explicadas de forma clara):
- Propriedade multiplicativa do determinante: para matrizes quadradas
e do mesmo tamanho vale
Explicação rápida: o determinante é uma função que, entre outras coisas, transforma produto de transformações lineares no produto dos seus fatores escalares — por isso é multiplicativo. No exame, essa propriedade é frequentemente usada sem demonstrar cada vez (mas ela pode ser provada a partir das propriedades que definem o determinante).
- Determinante da matriz identidade: se
é a matriz identidade (mesma ordem de ), então
Justificação simples: a identidade representa a transformação que não muda nada; o fator de escala dessa transformação é
.
- Critério de invertibilidade:
é invertível se, e somente se, .
Consequência prática: se apareceno enunciado, então sabemos que .
Passo 3
Aplicando as propriedades ao par
e
: como
é invertível,
. Usando a propriedade multiplicativa do determinante,
Mas
. Portanto
Passo 4
Agora substituímos a informação dada
na igualdade anterior:
Logo
Esse é o argumento lógico que prova a afirmação para qualquer matriz quadrada invertível
com
.
Passo 5
Para fixar com um exemplo concreto (só para intuir, não para provar): tome
Calculamos
. Como o determinante é
, a inversa é, pela fórmula de
,
e verificamos
. Isso ilustra que a conclusão funciona em um caso concreto.]
Resposta
Verdadeira.