Calcule o determinante das matrizes a seguir, explique os passos.
\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{rrr}-2 & 0 & 1 \\\\ 3 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 2\end{array}\right],

Passo 1

O enunciado pede: calcular o determinante da matriz B dada. A matriz fornecida é
B=\begin{bmatrix}-2 & 0 & 1 \\[4pt] 3 & 0 & 1 \\[4pt] 1 & 1 & 2\end{bmatrix}.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • Elementos linha a linha: primeira linha (-2,\,0,\,1), segunda linha (3,\,0,\,1), terceira linha (1,\,1,\,2).
  • Pedido: encontrar \det(B).]

Passo 2

Escolha do método: como B é uma matriz 3\times3, duas maneiras simples e básicas são (i) a regra de Sarrus e (ii) desenvolvimento por cofatores. Vou usar a regra de Sarrus porque é direta para 3\times3 e exige poucas contas; depois faço uma checagem rápida pelo desenvolvimento por cofatores (expansão) para confirmar o resultado.
Breve aula sobre a regra de Sarrus (modo simples e prático):
  • Para uma matriz
A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix},
a regra de Sarrus diz que
\det(A)=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} - \bigl(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}\bigr).
  • Interpretação: somam-se os três produtos das diagonais que descem para a direita e subtraem-se os três produtos das diagonais que sobem para a direita.]

Passo 3

Aplicando a regra de Sarrus à matriz B. Primeiro identifico os elementos:
a_{11}=-2,\quad a_{12}=0,\quad a_{13}=1,
a_{21}=3,\quad a_{22}=0,\quad a_{23}=1,
a_{31}=1,\quad a_{32}=1,\quad a_{33}=2.
Agora calculo os três produtos positivos (diagonais descendentes):
a_{11}a_{22}a_{33}=(-2)\cdot 0 \cdot 2 = 0,
a_{12}a_{23}a_{31}=0\cdot 1\cdot 1 = 0,
a_{13}a_{21}a_{32}=1\cdot 3\cdot 1 = 3.
Soma dos termos positivos:
\text{soma}_+ = 0 + 0 + 3 = 3.

Passo 4

Agora calculo os três produtos negativos (diagonais ascendentes):
a_{13}a_{22}a_{31}=1\cdot 0 \cdot 1 = 0,
a_{11}a_{23}a_{32}=(-2)\cdot 1 \cdot 1 = -2,
a_{12}a_{21}a_{33}=0\cdot 3 \cdot 2 = 0.
Soma dos termos que serão subtraídos:
\text{soma}_- = 0 + (-2) + 0 = -2.
Aplicando a fórmula de Sarrus:
\det(B)=\text{soma}_+ - \text{soma}_- = 3 - (-2) = 5.

Passo 5

Checagem alternativa (desenvolvimento por cofatores na coluna 2, que tem dois zeros — por isso é conveniente):
  • Recordando: o cofator C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}), onde M_{ij} é a matriz obtida eliminando a linha i e coluna j.
  • Expansão pela coluna 2:
\det(B)=a_{12}C_{12}+a_{22}C_{22}+a_{32}C_{32}.
Aqui a_{12}=0 e a_{22}=0, então só resta o termo com a_{32}. Temos a_{32}=1 e
C_{32}=(-1)^{3+2}\det\begin{bmatrix}-2 & 1\\[4pt] 3 & 1\end{bmatrix}=(-1)^5\bigl((-2)\cdot 1 - 1\cdot 3\bigr) = -1\cdot(-5)=5.
Portanto
\det(B)=1\cdot 5 = 5,
confirmando o resultado obtido por Sarrus.]

Passo 6

Interpretação final curta e motivadora: o determinante de B é um número inteiro pequeno, \,5, o que significa, entre outras coisas, que B é invertível (pois \det(B)\neq 0). Bom trabalho por ter chegado até aqui — lembre que, para 3\times3, usar Sarrus ou expandir por uma coluna/linha com muitos zeros costuma ser a forma mais rápida na prova.

Resposta

5

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