Observação útil (sem resolver ainda): note que todos os elementos acima da diagonal principal são zero. Escrevendo as posições:
c_{12}=0, c_{13}=0, c_{23}=0.
Uma matriz que tem zeros acima da diagonal principal é chamada de matriz triangular inferior (ou simplesmente “triangular”). Para matrizes triangulares existe uma propriedade muito prática: o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Vou mostrar por que isso vale no caso concreto, usando expansão por cofatores (Laplace), que é uma técnica básica e segura para provas.
Passo 3
Apresentando a fórmula de expansão por cofatores (linha i):
onde a_{ij} é o elemento na linha i, coluna j e M_{ij} é a matriz menor obtida removendo a linha i e a coluna j. Aqui:
(-1)^{i+j} é o sinal do cofator,
\det(M_{ij}) é o determinante do menor (n-1)\times(n-1).
Vamos aplicar essa fórmula escolhendo a primeira linha (i=1). A primeira linha de C é (2,0,0). Assim, ao expandir pela primeira linha só o termo correspondente a j=1 contribui (os termos com a_{11}=2, a_{12}=0, a_{13}=0; os dois últimos anulam-se porque multiplicam por zero).
\det\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
Aplicando a essa M_{11}:
\det(M_{11})=3\cdot 1 - 0\cdot 0 = 3.
Logo
\det\text{(C)}=2\cdot 3 = 6.]
Passo 5
Comentário final e reforço didático: outra forma de ver isso rapidamente é usar a propriedade mencionada antes — para qualquer matriz triangular (superior ou inferior) o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Aqui a diagonal é 2,\,3,\,1, e o produto é 2\cdot3\cdot1=6. A demonstração que fiz por expansão por cofatores em duas etapas é um modo elementar de provar essa propriedade no caso 3\times3.
Força aí — a técnica de “expandir pela linha com mais zeros” é uma dica prática para economizar cálculo numa prova.