Calcule o determinante das matrizes a seguir, explique os passos.
\boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\\\ 4 & 3 & 0 \\\\ 7 & 0 & 1\end{array}\right],

Passo 1

O enunciado pede: calcular o determinante da matriz C.
A matriz dada é
C=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\[4pt] 4 & 3 & 0\\[4pt] 7 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas:
  • É uma matriz 3\times3.
  • Os elementos da matriz são, por linha:
    • linha 1: 2,\,0,\,0
    • linha 2: 4,\,3,\,0
    • linha 3: 7,\,0,\,1
  • O objetivo: encontrar \det\text{(C)}.]

Passo 2

Observação útil (sem resolver ainda): note que todos os elementos acima da diagonal principal são zero. Escrevendo as posições:
  • c_{12}=0, c_{13}=0, c_{23}=0.
Uma matriz que tem zeros acima da diagonal principal é chamada de matriz triangular inferior (ou simplesmente “triangular”). Para matrizes triangulares existe uma propriedade muito prática: o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Vou mostrar por que isso vale no caso concreto, usando expansão por cofatores (Laplace), que é uma técnica básica e segura para provas.

Passo 3

Apresentando a fórmula de expansão por cofatores (linha i):
\det(A)=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}\,a_{ij}\,\det(M_{ij}),
onde a_{ij} é o elemento na linha i, coluna j e M_{ij} é a matriz menor obtida removendo a linha i e a coluna j. Aqui:
  • (-1)^{i+j} é o sinal do cofator,
  • \det(M_{ij}) é o determinante do menor (n-1)\times(n-1).
Vamos aplicar essa fórmula escolhendo a primeira linha ( i=1). A primeira linha de C é (2,0,0). Assim, ao expandir pela primeira linha só o termo correspondente a j=1 contribui (os termos com a_{11}=2, a_{12}=0, a_{13}=0; os dois últimos anulam-se porque multiplicam por zero).

Passo 4

Aplicando a expansão pela primeira linha:
\det\text{(C)}=(-1)^{1+1} \, c_{11}\, \det(M_{11}) =1\cdot 2 \cdot \det(M_{11}).
Agora construímos M_{11}, a menor obtida removendo linha 1 e coluna 1 de C. A partir de
\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\[4pt] 4 & 3 & 0\\[4pt] 7 & 0 & 1 \end{pmatrix}
removendo linha 1 e coluna 1 sobra a matriz 2\times2
M_{11}=\begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
O determinante de uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}
é dado por
\det\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
Aplicando a essa M_{11}:
\det(M_{11})=3\cdot 1 - 0\cdot 0 = 3.
Logo
\det\text{(C)}=2\cdot 3 = 6.]

Passo 5

Comentário final e reforço didático: outra forma de ver isso rapidamente é usar a propriedade mencionada antes — para qualquer matriz triangular (superior ou inferior) o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Aqui a diagonal é 2,\,3,\,1, e o produto é 2\cdot3\cdot1=6. A demonstração que fiz por expansão por cofatores em duas etapas é um modo elementar de provar essa propriedade no caso 3\times3.
Força aí — a técnica de “expandir pela linha com mais zeros” é uma dica prática para economizar cálculo numa prova.

Resposta

\det\text{(C)}=6

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