Calcule o determinante das matrizes a seguir, explique os passos.
\boldsymbol{L}=\left[\begin{array}{rrr}0 & 0 & -2 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ -2 & -1 & 4\end{array}\right],

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos.
  • Pede: calcular o determinante da matriz \boldsymbol{L}.
  • Matriz fornecida:
\boldsymbol{L}=\left[\begin{array}{rrr} 0 & 0 & -2 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ -2 & -1 & 4 \end{array}\right].
  • Ou seja, temos uma matriz quadrada 3\times3 e precisamos encontrar \det(\boldsymbol{L}).

Passo 2

Escolha do método e lembrando propriedades úteis (explicação didática).
  • Para matrizes 3\times3 há dois caminhos comuns:
    1. Expansão por cofactores (regra de Sarrus ou fórmula direta).
    2. Usar operações elementares sobre linhas para triangularizar a matriz e usar propriedades do determinante.
  • Vou usar operações sobre linhas porque aqui a matriz fica muito simples com uma única troca de linhas (fica triangular), e isso torna o cálculo curto e transparente. Além disso, explico como cada operação afeta o determinante:
    • Trocar duas linhas troca o sinal do determinante (multiplica por -1).
    • Somar a um linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
    • Multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k.
    • Se a matriz fica triangular (superior ou inferior), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.
  • Essas propriedades permitem simplificar a conta sem fazer muitas multiplicações.

Passo 3

Aplicar uma operação para simplificar: trocar \text{R}_1 com \text{R}_3.
  • Definindo linhas originais: \text{R}_1=(0,0,-2), \text{R}_2=(0,1,1), \text{R}_3=(-2,-1,4).
  • Troco \text{R}_1 \leftrightarrow \text{R}_3. Lembre: uma troca de linhas muda o sinal do determinante, ou seja
\det(\text{matriz\\ após\\ troca}) = -\det(\boldsymbol{L}).ó
  • Após a troca obtemos a matriz
\boldsymbol{M}=\left[\begin{array}{rrr} -2 & -1 & 4 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & -2 \end{array}\right],
pois a antiga \text{R}_3 virou \text{R}_1 e a antiga \text{R}_1 virou \text{R}_3.

Passo 4

Observar que \boldsymbol{M} é triangular superior e calcular seu determinante.
  • Uma matriz triangular superior tem todos os elementos abaixo da diagonal principal iguais a zero. Para essas matrizes vale a propriedade:
\det(\text{matriz triangular})=\prod_{i=1}^{n} (\text{entrada na diagonal }_{ii}).
  • No nosso caso, a diagonal de \boldsymbol{M} é (-2,\;1,\;-2). Então
\det(\boldsymbol{M}) = (-2)\cdot 1 \cdot (-2) = 4.

Passo 5

Relacionar \det(\boldsymbol{M}) com \det(\boldsymbol{L}) e finalizar.
  • Lembrando que trocar linhas mudou o sinal:
\det(\boldsymbol{M}) = -\det(\boldsymbol{L}).
  • Substituindo \det(\boldsymbol{M})=4, temos
4 = -\det(\boldsymbol{L}) \quad\Rightarrow\quad \det(\boldsymbol{L}) = -4.

Passo 6

Verificação alternativa (opcional, para aprendizado): expansão por cofactores na primeira linha da matriz original.
  • Fórmula direta para 3\times3: para \boldsymbol{L}=(a_{ij}),
\det(\boldsymbol{L})=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}).
  • No nosso caso, os elementos da primeira linha são a_{11}=0, a_{12}=0, a_{13}=-2. Substituindo:
\det(\boldsymbol{L})=0\cdot(\cdots)-0\cdot(\cdots)+(-2)\big(0\cdot(-1)-1\cdot(-2)\big).
  • Calculando o parêntese: 0\cdot(-1)-1\cdot(-2)=0-(-2)=2. Então
\det(\boldsymbol{L})=(-2)\cdot 2 = -4,
confirmando o resultado obtido antes.

Resposta

-4

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