Calcule o determinante das matrizes a seguir, explique os passos.
\boldsymbol{N}=\left[\begin{array}{rrr}5 & -2 & 1 \\\\ 6 & 0 & 3 \\\\ -2 & 1 & 4\end{array}\right],

Passo 1

O enunciado pede: calcular o determinante da matriz N, onde foram dadas as entradas da matriz. A matriz é
N=\begin{bmatrix}5 & -2 & 1 \\[4pt] 6 & 0 & 3 \\[4pt] -2 & 1 & 4\end{bmatrix}.
Informações relevantes: todos os elementos da matriz estão explícitos. A única pergunta é encontrar \det(N).]

Passo 2

Escolha do método e explicação básica (didática e prática): para matrizes 3\times3 a regra de Sarrus é um método direto e simples. Essa regra diz que, para uma matriz
A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix},
o determinante é dado por
\det(A)=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} -(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}).
Explicando as partes: os três primeiros termos são os produtos das diagonais que “descem para a direita” (os contribuições positivas) e os três últimos são os produtos das diagonais que “sobem para a direita” (a serem subtraídos). Essa é uma forma prática de aplicar a definição de determinante para 3\times3 sem expandir por cofatores passo a passo, e é suficiente para provas quando a matriz é 3\times3.]

Passo 3

Aplicando a regra de Sarrus à matriz N. Identificando a_{ij} com os elementos de N:
a_{11}=5,\; a_{12}=-2,\; a_{13}=1,
a_{21}=6,\; a_{22}=0,\; a_{23}=3,
a_{31}=-2,\; a_{32}=1,\; a_{33}=4.

Passo 4

Calcular os três produtos positivos (diagonais que descem):
a_{11}a_{22}a_{33}=5\cdot0\cdot4=0,
a_{12}a_{23}a_{31}=(-2)\cdot3\cdot(-2)=(-2\cdot3)\cdot(-2)=(-6)\cdot(-2)=12,
a_{13}a_{21}a_{32}=1\cdot6\cdot1=6.
Somando esses três termos:
\text{soma positiva}=0+12+6=18.

Passo 5

Calcular os três produtos negativos (diagonais que sobem):
a_{13}a_{22}a_{31}=1\cdot0\cdot(-2)=0,
a_{11}a_{23}a_{32}=5\cdot3\cdot1=15,
a_{12}a_{21}a_{33}=(-2)\cdot6\cdot4=(-12)\cdot4=-48.
Somando esses três termos:
\text{soma negativa}=0+15+(-48)=-33.

Passo 6

Aplicar a fórmula de Sarrus:
\det(N)=\text{soma positiva} - \text{soma negativa}=18 - (-33)=18+33=51.
Para ter mais segurança (confiança na resposta), faço um cheque rápido expandindo por cofatores na primeira linha:
Cofator da posição (1,1): \det\begin{bmatrix}0 & 3\\[4pt] 1 & 4\end{bmatrix}=0\cdot4-3\cdot1=-3, contribuição 5\cdot(-3)=-15.
Cofator da posição (1,2): \det\begin{bmatrix}6 & 3\\[4pt] -2 & 4\end{bmatrix}=6\cdot4-3\cdot(-2)=24+6=30, contribuição com sinal é -(-2)\cdot30=+2\cdot30=60.
Cofator da posição (1,3): \det\begin{bmatrix}6 & 0\\[4pt] -2 & 1\end{bmatrix}=6\cdot1-0\cdot(-2)=6, contribuição 1\cdot6=6.
Somando as três contribuições: -15+60+6=51, confirma o resultado obtido por Sarrus.]

Resposta

\det(N)=51

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