Calcule o determinante das matrizes a seguir, explique os passos.
\boldsymbol{M}=\left[\begin{array}{rrr}-2 & 3 & 1 \\\\ 4 & 6 & 5 \\\\ 0 & 2 & 1\end{array}\right],

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Pede: calcular o determinante da matriz \boldsymbol{M}.
  • A matriz fornecida é
\boldsymbol{M}=\begin{pmatrix}-2 & 3 & 1 \\[4pt] 4 & 6 & 5 \\[4pt] 0 & 2 & 1\end{pmatrix}.
  • Informação útil: é uma matriz 3\times3. O objetivo final é obter um número, o valor \det(\boldsymbol{M}).]

Passo 2

Escolha do método e conceitos básicos (mini-aula curta).
Vou usar o método de operações elementares sobre linhas para triangularizar a matriz, porque:
  • É um método sistemático que funciona para matrizes de qualquer ordem;
  • Permite usar apenas operações fáceis de lembrar durante a prova;
  • Ensina propriedades úteis do determinante que são pedem muitas vezes na prova.
Relembrando as regras fundamentais sobre como operações em linhas afetam o determinante:
  1. Se trocar duas linhas, o determinante muda de sinal: se antes era D, passa a -D.
  2. Se multiplicar uma linha por um escalar k, o determinante é multiplicado por k.
  3. Se somar à uma linha um múltiplo escalar de outra linha (por exemplo L_i \leftarrow L_i + c L_j), o determinante NÃO muda.
Além disso, quando uma matriz está em forma triangular (superior ou inferior), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
\det(\text{triangular})=\prod_{i} a_{ii}.
Com isso, a estratégia: usar operações do tipo 3 (que não alteram o determinante) e, se preciso, uma troca de linhas (regra 1) para obter uma matriz triangular; então multiplicar os elementos da diagonal, ajustando o sinal caso tenha ocorrido troca(s).

Passo 3

Primeira etapa prática: zerar abaixo de a_{11}.
Escrevo as linhas iniciais como \,L_1,L_2,L_3:
L_1 = (-2,\;3,\;1),\qquad L_2=(4,\;6,\;5),\qquad L_3=(0,\;2,\;1).
Queremos eliminar o elemento 4 em L_2 (primeira coluna) usando L_1. Faço a operação
L_2 \leftarrow L_2 + 2L_1.
Essa operação é do tipo “somar múltiplo de uma linha a outra”, portanto o determinante não muda.
Calculemos L_2+2L_1:
L_2 +2L_1 = (4,\;6,\;5) + 2(-2,\;3,\;1) = (4-4,\;6+6,\;5+2) = (0,\;12,\;7).
A matriz passa a ser
\begin{pmatrix} -2 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 12 & 7\\[4pt] 0 & 2 & 1 \end{pmatrix},
e o determinante continua o mesmo que o de \boldsymbol{M}.]

Passo 4

Segunda etapa prática: limpar a segunda coluna abaixo do pivô.
Agora temos na segunda coluna os valores 12 (em L_2) e 2 (em L_3). Para facilitar, em vez de usar frações, faço uma operação inteira que também é do tipo 3: subtrair 6 vezes L_3 de L_2:
L_2 \leftarrow L_2 - 6L_3.
Essa operação não altera o determinante (tipo 3).
Compute:
L_2 - 6L_3 = (0,\;12,\;7) - 6(0,\;2,\;1) = (0,\;12-12,\;7-6) = (0,\;0,\;1).
A matriz fica
\begin{pmatrix} -2 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Terceira etapa prática: obter forma triangular superior (troca de linhas).
Atualmente a segunda linha tem 0 na segunda coluna e a terceira linha tem 2 naquela posição. Para ter uma triangular superior com pivôs na diagonal, troco L_2 e L_3:
L_2 \longleftrightarrow L_3.
Trocar duas linhas altera o sinal do determinante (regra 1): o determinante da nova matriz é o oposto do determinante da anterior.
Depois da troca obtemos a matriz triangular superior
\begin{pmatrix} -2 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Cálculo do determinante a partir da triangularização e ajuste do sinal.
  • Produto da diagonal da matriz triangular: (-2)\cdot 2 \cdot 1 = -4.
  • Lembrando que houve UMA troca de linhas (em Passo 5), o que muda o sinal do determinante. Como aplicámos uma troca, o determinante da matriz original é o oposto do produto da diagonal:
\det(\boldsymbol{M}) = -\bigl((-2)\cdot 2 \cdot 1\bigr) = -(-4) = 4.
Observação rápida (verificação alternativa): para matrizes 3\times3 existe a regra de Sarrus que dá o mesmo resultado. Aplicando Sarrus temos:
\det(\boldsymbol{M}) = (-2)\cdot 6\cdot 1 + 3\cdot 5\cdot 0 + 1\cdot 4\cdot 2 \;-\; \bigl(1\cdot 6\cdot 0 + (-2)\cdot 5\cdot 2 + 3\cdot 4\cdot 1\bigr)
= (-12) + 0 + 8 \;-\; \bigl(0 -20 + 12\bigr) = -4 -(-8) = 4,
confirmando o resultado.

Resposta

\det(\boldsymbol{M})=4

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