Informação útil: é uma matriz 3\times3. O objetivo final é obter um número, o valor \det(\boldsymbol{M}).]
Passo 2
Escolha do método e conceitos básicos (mini-aula curta).
Vou usar o método de operações elementares sobre linhas para triangularizar a matriz, porque:
É um método sistemático que funciona para matrizes de qualquer ordem;
Permite usar apenas operações fáceis de lembrar durante a prova;
Ensina propriedades úteis do determinante que são pedem muitas vezes na prova.
Relembrando as regras fundamentais sobre como operações em linhas afetam o determinante:
Se trocar duas linhas, o determinante muda de sinal: se antes era D, passa a -D.
Se multiplicar uma linha por um escalar k, o determinante é multiplicado por k.
Se somar à uma linha um múltiplo escalar de outra linha (por exemplo L_i \leftarrow L_i + c L_j), o determinante NÃO muda.
Além disso, quando uma matriz está em forma triangular (superior ou inferior), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
\det(\text{triangular})=\prod_{i} a_{ii}.
Com isso, a estratégia: usar operações do tipo 3 (que não alteram o determinante) e, se preciso, uma troca de linhas (regra 1) para obter uma matriz triangular; então multiplicar os elementos da diagonal, ajustando o sinal caso tenha ocorrido troca(s).
e o determinante continua o mesmo que o de \boldsymbol{M}.]
Passo 4
Segunda etapa prática: limpar a segunda coluna abaixo do pivô.
Agora temos na segunda coluna os valores 12 (em L_2) e 2 (em L_3). Para facilitar, em vez de usar frações, faço uma operação inteira que também é do tipo 3: subtrair 6 vezes L_3 de L_2:
Terceira etapa prática: obter forma triangular superior (troca de linhas).
Atualmente a segunda linha tem 0 na segunda coluna e a terceira linha tem 2 naquela posição. Para ter uma triangular superior com pivôs na diagonal, troco L_2 e L_3:
L_2 \longleftrightarrow L_3.
Trocar duas linhas altera o sinal do determinante (regra 1): o determinante da nova matriz é o oposto do determinante da anterior.
Depois da troca obtemos a matriz triangular superior
Cálculo do determinante a partir da triangularização e ajuste do sinal.
Produto da diagonal da matriz triangular: (-2)\cdot 2 \cdot 1 = -4.
Lembrando que houve UMA troca de linhas (em Passo 5), o que muda o sinal do determinante. Como aplicámos uma troca, o determinante da matriz original é o oposto do produto da diagonal: