Se
e
são matrizes de ordem
tais que
e
, calcule
.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
-
e são matrizes quadradas de ordem . -
. -
.
O que é pedido:
- Calcular
.
Passo 2
Vamos lembrar e explicar, passo a passo, as propriedades de determinante que usaremos. São fatos padrão e fáceis de usar na prova:
- Produto: para quaisquer matrizes quadradas
e compatíveis, vale
Isso vem da definição do determinante como uma multiplicativa em relação ao produto de matrizes.
- Transposta: para qualquer matriz quadrada
,
Intuição rápida: transpor apenas troca linhas por colunas; o determinante muda de sinal só quando permuta linhas de forma ímpar, e a transposição não altera esse sinal total.
- Inversa: se
é invertível, então
Justificativa:
.
- Potência inteira: para inteiro positivo
,
Isto decorre da multiplicatividade repetida:
.
Passo 3
Aplicando a propriedade da transposta (2) ao fator
, obtemos
Como o enunciado deu
, segue que
Passo 4
Aplicando a propriedade da inversa (3) à matriz
, obtemos
Como
, segue que
Passo 5
Agora calculamos o determinante do produto
usando a multiplicatividade (1):
Substituindo os valores encontrados nos passos anteriores:
Passo 6
Finalmente aplicamos a regra da potência (4) para a matriz
elevada ao quadrado:
Substituindo o resultado do passo anterior:
Passo 7
Calcule a potência: