Se A e B são matrizes de ordem n tais que \operatorname{det}(A)=-2 e \operatorname{det}(B)=3, calcule \operatorname{det}\left(\left(A^{t} B^{-1}\right)^{2}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • A e B são matrizes quadradas de ordem n.
  • \operatorname{det}(A) = -2.
  • \operatorname{det}(B) = 3.
O que é pedido:
  • Calcular \operatorname{det}\!\left(\left(A^{t} B^{-1}\right)^{2}\right).

Passo 2

Vamos lembrar e explicar, passo a passo, as propriedades de determinante que usaremos. São fatos padrão e fáceis de usar na prova:
  1. Produto: para quaisquer matrizes quadradas X e Y compatíveis, vale
\operatorname{det}(XY)=\operatorname{det}(X)\operatorname{det}(Y).
Isso vem da definição do determinante como uma multiplicativa em relação ao produto de matrizes.
  1. Transposta: para qualquer matriz quadrada X,
\operatorname{det}(X^{t})=\operatorname{det}(X).
Intuição rápida: transpor apenas troca linhas por colunas; o determinante muda de sinal só quando permuta linhas de forma ímpar, e a transposição não altera esse sinal total.
  1. Inversa: se X é invertível, então
\operatorname{det}(X^{-1})=\frac{1}{\operatorname{det}(X)}.
Justificativa: \operatorname{det}(X)\operatorname{det}(X^{-1})=\operatorname{det}(XX^{-1})=\operatorname{det}(I)=1.
  1. Potência inteira: para inteiro positivo k,
\operatorname{det}(X^{k})=\left(\operatorname{det}(X)\right)^{k}.
Isto decorre da multiplicatividade repetida: \operatorname{det}(X^{k})=\operatorname{det}(X\cdots X)=\operatorname{det}(X)^k.

Passo 3

Aplicando a propriedade da transposta (2) ao fator A^{t}, obtemos
\operatorname{det}(A^{t})=\operatorname{det}(A).
Como o enunciado deu \operatorname{det}(A)=-2, segue que
\operatorname{det}(A^{t})=-2.

Passo 4

Aplicando a propriedade da inversa (3) à matriz B, obtemos
\operatorname{det}(B^{-1})=\frac{1}{\operatorname{det}(B)}.
Como \operatorname{det}(B)=3, segue que
\operatorname{det}(B^{-1})=\frac{1}{3}.

Passo 5

Agora calculamos o determinante do produto A^{t}B^{-1} usando a multiplicatividade (1):
\operatorname{det}\!\left(A^{t}B^{-1}\right)=\operatorname{det}(A^{t})\operatorname{det}(B^{-1}).
Substituindo os valores encontrados nos passos anteriores:
\operatorname{det}\!\left(A^{t}B^{-1}\right)=(-2)\cdot\frac{1}{3}=\frac{-2}{3}.

Passo 6

Finalmente aplicamos a regra da potência (4) para a matriz A^{t}B^{-1} elevada ao quadrado:
\operatorname{det}\!\left(\left(A^{t}B^{-1}\right)^{2}\right)=\left(\operatorname{det}\!\left(A^{t}B^{-1}\right)\right)^{2}.
Substituindo o resultado do passo anterior:
\operatorname{det}\!\left(\left(A^{t}B^{-1}\right)^{2}\right)=\left(\frac{-2}{3}\right)^{2}.

Passo 7

Calcule a potência:
\left(\frac{-2}{3}\right)^{2}=\frac{(-2)^{2}}{3^{2}}=\frac{4}{9}.

Resposta

\dfrac{4}{9}

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