ou seja, é uma matriz bloco-superior-triangular (o bloco inferior-esquerdo é zero). Há uma propriedade geral de determinantes para matrizes em blocos desse tipo: se A e C são quadradas e a matriz tem a forma \begin{pmatrix}A & B\\[4pt]0 & C\end{pmatrix}, então
Explicação didática dessa propriedade (esquemática e suficiente para a prova): expandindo o determinante por Laplace usando as linhas (ou colunas) que contêm os zeros do bloco inferior-esquerdo, as permutações que contribuem ao determinante separam-se em fatores que dão exatamente \det(A) e \det\text{(C)}; portanto o determinante da matriz em blocos é o produto dos determinantes dos blocos diagonais. Na prática, para resolver esta questão basta usar essa propriedade aplicada a R e S.]
Passo 3
Agora calculamos \det(R). Lembrando a fórmula do determinante de uma matriz 2\times2:
\text{se }A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}\text{ então }\det(A)=ad-bc.ã
Aplicando a R=\left(\begin{array}{cc}\cos(\theta) & -\operatorname{sen}(\theta)\\[4pt]\operatorname{sen}(\theta) & \cos(\theta)\end{array}\right) temos
Pela identidade trigonométrica fundamental \cos^2(\theta)+\operatorname{sen}^2(\theta)=1, segue que
\det(R)=1.]
Passo 4
Calculemos \det(S) para S=\left(\begin{array}{cc}\cos(\theta) & \operatorname{sen}(\theta)\\[4pt]-\operatorname{sen}(\theta) & \cos(\theta)\end{array}\right). Usando a mesma fórmula para 2\times2,
Pelo passo 2 (propriedade do determinante de matriz bloco-superior-triangular) e pelos passos 3 e 4 (cada bloco diagonal tem determinante 1), conclui-se:
\det(M)=\det(R)\cdot\det(S)=1\cdot 1=1.
Comentário amigo: percebeu como ficou simples usando a estrutura em blocos? Ambas as submatrizes R e S são variações de matrizes de rotação (que têm determinante 1), por isso o resultado final independe de \theta.