Ache os polinômios P(x) de grau 4 que verificam a identidade P(x)=P(1-x).

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todos os polinômios P(x) de grau 4 tais que a identidade
P(x)=P(1-x)
valha para todo x.
Informações dadas:
  • P(x) é um polinômio de grau 4.
  • A condição de simetria P(x)=P(1-x) deve valer para todos os x.

Passo 2

Ideia-chave (explicação didática): a condição P(x)=P(1-x) significa que P é invariante pela troca x\mapsto1-x. Isso é simetria em relação à reta x=\tfrac12. Uma forma prática de explorar essa simetria é recenter a variável em torno de \tfrac12. Defina
y = x-\tfrac12.
Então x=\tfrac12+y e 1-x=\tfrac12-y. A condição fica
P\!\bigl(\tfrac12+y\bigr)=P\!\bigl(\tfrac12-y\bigr).
Ou seja, a função Q(y):=P(\tfrac12+y) satisfaz Q(y)=Q(-y). Funções com Q(y)=Q(-y) são chamadas de pares (ou “even” em inglês) e, quando são polinômios, contêm apenas potências pares de y: y^0,y^2,y^4,\dots.

Passo 3

Como P tem grau 4, Q(y)=P(\tfrac12+y) terá grau 4 em y. Por ser par, só pode ter termos em y^4,y^2,y^0. Portanto existe uma representação com constantes (reais) \alpha,\beta,\gamma tais que
Q(y)=\alpha y^4+\beta y^2+\gamma.
Voltando para a variável x (lembre que y=x-\tfrac12), obtemos a forma geral
P(x)=\alpha\,(x-\tfrac12)^4+\beta\,(x-\tfrac12)^2+\gamma.
Esta é a descrição direta e conceitual: polinômios simétricos em torno de x=\tfrac12 são polinômios em (x-\tfrac12)^2. Para que P seja de grau 4 é necessário e suficiente que \alpha\neq0.

Passo 4

Para fixar a intuição, expandimos os quadrados para ver a forma na base usual \{x^4,x^3,x^2,x,1\}. Primeiro
(x-\tfrac12)^2 = x^2 - x + \tfrac14,
e em seguida
(x-\tfrac12)^4 = \bigl(x^2-x+\tfrac14\bigr)^2 = x^4 - 2x^3 + \tfrac32 x^2 - \tfrac12 x + \tfrac{1}{16}.
Substituindo em P(x)=\alpha(x-\tfrac12)^4+\beta(x-\tfrac12)^2+\gamma e agrupando termos obtém-se, após simplificar, uma forma P(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e cujos coeficientes satisfazem relações específicas (por exemplo b=-2\alpha, etc.). Essas relações são consequência direta da simetria P(x)=P(1-x).

Passo 5

(Verificação alternativa e relação entre coeficientes, método de igualar coeficientes.) Se começarmos com
P(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e
e exigirmos P(x)=P(1-x), expandindo P(1-x) e igualando coeficientes obtemos as condições
b=-2a,\qquad d=a-c,
enquanto e e c são livres e a\neq0 se o grau deve ser 4. Isso é compatível com a forma em termos de (x-\tfrac12)^2 do passo anterior.

Passo 6

Comentário final e incentivo: portanto a família inteira dos polinômios de grau 4 que satisfazem P(x)=P(1-x) é exatamente a família dos polinômios da forma
P(x)=\alpha\,(x-\tfrac12)^4+\beta\,(x-\tfrac12)^2+\gamma,
com \alpha\neq0. Se quiseres, posso também escrever explicitamente os coeficientes a,b,c,d,e em termos de \alpha,\beta,\gamma — me fala que eu faço passo a passo.

Resposta

P(x)=\alpha\,(x-\tfrac12)^4+\beta\,(x-\tfrac12)^2+\gamma,\quad \alpha\neq0

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