Ache os polinômios
de grau 4 que verificam a identidade
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todos os polinômios
de grau
tais que a identidade
valha para todo
.
Informações dadas:
Informações dadas:
-
é um polinômio de grau . - A condição de simetria
deve valer para todos os .
Passo 2
Ideia-chave (explicação didática): a condição
significa que
é invariante pela troca
. Isso é simetria em relação à reta
. Uma forma prática de explorar essa simetria é recenter a variável em torno de
. Defina
Então
e
. A condição fica
Ou seja, a função
satisfaz
. Funções com
são chamadas de pares (ou “even” em inglês) e, quando são polinômios, contêm apenas potências pares de
:
.
Passo 3
Como
tem grau
,
terá grau
em
. Por ser par, só pode ter termos em
. Portanto existe uma representação com constantes (reais)
tais que
Voltando para a variável
(lembre que
), obtemos a forma geral
Esta é a descrição direta e conceitual: polinômios simétricos em torno de
são polinômios em
. Para que
seja de grau
é necessário e suficiente que
.
Passo 4
Para fixar a intuição, expandimos os quadrados para ver a forma na base usual
. Primeiro
e em seguida
Substituindo em
e agrupando termos obtém-se, após simplificar, uma forma
cujos coeficientes satisfazem relações específicas (por exemplo
, etc.). Essas relações são consequência direta da simetria
.
Passo 5
(Verificação alternativa e relação entre coeficientes, método de igualar coeficientes.) Se começarmos com
e exigirmos
, expandindo
e igualando coeficientes obtemos as condições
enquanto
e
são livres e
se o grau deve ser
. Isso é compatível com a forma em termos de
do passo anterior.
Passo 6
Comentário final e incentivo: portanto a família inteira dos polinômios de grau
que satisfazem
é exatamente a família dos polinômios da forma
com
. Se quiseres, posso também escrever explicitamente os coeficientes
em termos de
— me fala que eu faço passo a passo.