Valores genéricos dos elementos a_{ij} (não numéricos) estão presentes.
A única informação numérica fornecida é \det(A)=3.
A matriz que queremos (B) é obtida combinando linearmente as colunas de A: as duas primeiras colunas de B são combinações das duas primeiras colunas de A; a terceira coluna de B é igual à terceira coluna de A.
Passo 2
Vou usar propriedades de determinantes relacionadas a combinações lineares de colunas. Explicando a ideia de forma simples e sem jargão: se as colunas de B são combinações lineares das colunas de A, então podemos escrever B como produto A vezes uma matriz que contém essas combinações; e existe uma propriedade muito útil:
\det(AQ)=\det(A)\det(Q)
para matrizes quadradas A e Q. Vou aplicar isso porque é o caminho mais direto e pouco trabalhoso para cálculo do determinante de B.
Passo 3
Denotemos por \mathbf{c}_1,\mathbf{c}_2,\mathbf{c}_3 as colunas de A, ou seja
pois a primeira coluna de Q é \begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix} (para \mathbf{c}_1+\mathbf{c}_2), a segunda é \begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\\[2pt]0\end{pmatrix} (para \mathbf{c}_1-\mathbf{c}_2) e a terceira é \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix} (para \mathbf{c}_3). Dessa forma
B = A\,Q.]
Passo 5
Usando a propriedade multiplicativa do determinante para matrizes quadradas:
\det(B)=\det(AQ)=\det(A)\det(Q).
Já sabemos \det(A)=3. Então precisamos apenas calcular \det(Q).
Passo 6
Calculemos \det(Q). Note que Q é uma matriz em bloco, com um bloco 2\times2 no canto superior esquerdo e 1 na posição (3,3). Escrevendo o bloco 2\times2:
Como o último elemento da diagonal é 1 e Q é essencialmente bloco triangular, temos
\det(Q)=\det(Q_{2})\cdot 1 = -2.]
Passo 7
Agora multiplicamos os determinantes:
\det(B)=\det(A)\det(Q)=3\cdot(-2) = -6.
Passo 8
Breve comentário didático-final (para fixar): a razão pela qual deu para fazer isso tão direto é que formar colunas de B como combinações das colunas de A corresponde exatamente a multiplicar A pela matriz Q que contém os coeficientes dessas combinações; o determinante do produto separa-se em produto dos determinantes, o que simplifica muito o cálculo.