Seja A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3} tal que \operatorname{det}(A)=3. Calcule o determinante das matrizes a seguir:
\left[\begin{array}{lll}a_{11}+a_{12} & a_{11}-a_{12} & a_{13} \\\ a_{21}+a_{22} & a_{21}-a_{22} & a_{23} \\\ a_{31}+a_{32} & a_{31}-a_{32} & a_{33}\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A=(a_{ij})_{3\times3} e informa que \det(A)=3. Pede-se o determinante da matriz
B=\begin{pmatrix} a_{11}+a_{12} & a_{11}-a_{12} & a_{13} \\\ a_{21}+a_{22} & a_{21}-a_{22} & a_{23} \\\ a_{31}+a_{32} & a_{31}-a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}.
Informações relevantes:
  • Valores genéricos dos elementos a_{ij} (não numéricos) estão presentes.
  • A única informação numérica fornecida é \det(A)=3.
  • A matriz que queremos ( B) é obtida combinando linearmente as colunas de A: as duas primeiras colunas de B são combinações das duas primeiras colunas de A; a terceira coluna de B é igual à terceira coluna de A.

Passo 2

Vou usar propriedades de determinantes relacionadas a combinações lineares de colunas. Explicando a ideia de forma simples e sem jargão: se as colunas de B são combinações lineares das colunas de A, então podemos escrever B como produto A vezes uma matriz que contém essas combinações; e existe uma propriedade muito útil:
\det(AQ)=\det(A)\det(Q)
para matrizes quadradas A e Q. Vou aplicar isso porque é o caminho mais direto e pouco trabalhoso para cálculo do determinante de B.

Passo 3

Denotemos por \mathbf{c}_1,\mathbf{c}_2,\mathbf{c}_3 as colunas de A, ou seja
A=\begin{pmatrix}\mathbf{c}_1 & \mathbf{c}_2 & \mathbf{c}_3\end{pmatrix}.
Observando B, suas colunas são:
  • primeira coluna de B: \mathbf{c}_1+\mathbf{c}_2,
  • segunda coluna de B: \mathbf{c}_1-\mathbf{c}_2,
  • terceira coluna de B: \mathbf{c}_3.
Portanto podemos escrever B como produto de A por uma matriz Q que expressa essas combinações.

Passo 4

A matriz Q tem colunas formadas pelos coeficientes das combinações lineares acima. Especificamente:
Q=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
pois a primeira coluna de Q é \begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix} (para \mathbf{c}_1+\mathbf{c}_2), a segunda é \begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\\[2pt]0\end{pmatrix} (para \mathbf{c}_1-\mathbf{c}_2) e a terceira é \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix} (para \mathbf{c}_3). Dessa forma
B = A\,Q.]

Passo 5

Usando a propriedade multiplicativa do determinante para matrizes quadradas:
\det(B)=\det(AQ)=\det(A)\det(Q).
Já sabemos \det(A)=3. Então precisamos apenas calcular \det(Q).

Passo 6

Calculemos \det(Q). Note que Q é uma matriz em bloco, com um bloco 2\times2 no canto superior esquerdo e 1 na posição (3,3). Escrevendo o bloco 2\times2:
Q_{2}=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}.
O determinante do bloco 2\times2 é
\det(Q_{2})=1\cdot(-1)-1\cdot1=-1-1=-2.
Como o último elemento da diagonal é 1 e Q é essencialmente bloco triangular, temos
\det(Q)=\det(Q_{2})\cdot 1 = -2.]

Passo 7

Agora multiplicamos os determinantes:
\det(B)=\det(A)\det(Q)=3\cdot(-2) = -6.

Passo 8

Breve comentário didático-final (para fixar): a razão pela qual deu para fazer isso tão direto é que formar colunas de B como combinações das colunas de A corresponde exatamente a multiplicar A pela matriz Q que contém os coeficientes dessas combinações; o determinante do produto separa-se em produto dos determinantes, o que simplifica muito o cálculo.

Resposta

-6

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