Calcule o determinante de ordem 4 utilizando o Desenvolvimento de Laplace:
A=\left[\begin{array}{llll} 1 & 0 & 2 & 0 \\\\ 3 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 & 4 \\\\ 0 & 0 & 5 & 2 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede calcular o determinante da matriz de ordem 4 abaixo, usando o desenvolvimento de Laplace:
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\\\ 3 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 & 4 \\\\ 0 & 0 & 5 & 2 \end{pmatrix}
Informações dadas relevantes:
  • A matriz A é quadrada de ordem 4.
  • O método requerido é o Desenvolvimento de Laplace (expansão por cofatores).
  • Os elementos da primeira linha são 1,0,2,0 (isto sugere que expandir pela primeira linha será econômico por haver zeros).

Passo 2

O que é o Desenvolvimento de Laplace (fórmula e ideias)?
  • Para qualquer matriz quadrada A=(a_{ij}) de ordem n, o determinante pode ser calculado expandindo por uma linha i (ou por uma coluna j):
\det(A)=\sum_{j=1}^n a_{ij}(-1)^{i+j}\det(M_{ij}),
onde M_{ij} é a menor obtida eliminando a linha i e a coluna j de A. O fator (-1)^{i+j} é o sinal do cofator.
  • Explicar o que é M_{ij}: é uma matriz (n-1)\times(n-1) que contém os elementos de A exceto a linha i e a coluna j.
  • Para matrizes 2\times2, a fórmula do determinante é
\det\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
  • Para matrizes triangulares (superior ou inferior), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 3

Escolha da linha/coluna para expandir (justificativa):
  • A primeira linha de A é (1,0,2,0). Há dois zeros nessa linha (nas colunas 2 e 4), então expandir pela primeira linha torna a conta mais simples: só precisamos calcular os cofatores das entradas não nulas nas posições (1,1) e (1,3).
  • Aplicando a fórmula de Laplace pela primeira linha:
\det(A)=a_{11}(-1)^{1+1}\det(M_{11}) + a_{12}(-1)^{1+2}\det(M_{12}) + a_{13}(-1)^{1+3}\det(M_{13}) + a_{14}(-1)^{1+4}\det(M_{14}).
Como a_{12}=0 e a_{14}=0, esses termos desaparecem. Restam os dois termos com a_{11}=1 e a_{13}=2:
\det(A)=1\cdot(+1)\cdot\det(M_{11}) + 2\cdot(+1)\cdot\det(M_{13}).
Observe que (-1)^{1+1}=+1 e (-1)^{1+3}=(-1)^{4}=+1.

Passo 4

Construção e escrita dos menores M_{11} e M_{13}.
  • Menor M_{11} (elimina linha 1 e coluna 1): as linhas restantes são 2,3,4 e as colunas restantes são 2,3,4. Assim
M_{11}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[4pt] 2 & 1 & 4\\[4pt] 0 & 5 & 2 \end{pmatrix}.
  • Menor M_{13} (elimina linha 1 e coluna 3): as colunas restantes são 1,2,4. Assim
M_{13}=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 4\\[4pt] 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Cálculo de \det(M_{11}) (determinante do 3\times3).
  • Uma forma prática é expandir M_{11} pela primeira linha, que tem um zero: para M_{11}=\begin{pmatrix}1&0&1\\[2pt]2&1&4\\[2pt]0&5&2\end{pmatrix},
\det(M_{11})=1\cdot(-1)^{1+1}\det\begin{pmatrix}1 & 4\\[2pt]5 & 2\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots) +1\cdot(-1)^{1+3}\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[2pt]0 & 5\end{pmatrix}.
  • Calcular os 2\times2:
\det\begin{pmatrix}1 & 4\\[2pt]5 & 2\end{pmatrix}=1\cdot2-4\cdot5=2-20=-18,
\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[2pt]0 & 5\end{pmatrix}=2\cdot5-1\cdot0=10.
  • Os sinais: (-1)^{1+1}=+1 e (-1)^{1+3}=+1. Portanto
\det(M_{11}) = 1\cdot(-18) + 1\cdot 10 = -18 + 10 = -8.]

Passo 6

Cálculo de \det(M_{13}) (determinante do 3\times3).
  • Observe que
M_{13}=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 4\\[4pt] 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros). Para matrices triangulares, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Então
\det(M_{13})=3\cdot 2\cdot 2 = 12.]

Passo 7

Montagem final do determinante de A (usar os valores de \det(M_{11}) e \det(M_{13})).
  • Lembrando da expressão obtida no Passo 3:
\det(A)=1\cdot\det(M_{11}) + 2\cdot\det(M_{13}).
  • Substituindo os valores que calculamos:
\det(A)=1\cdot(-8) + 2\cdot(12) = -8 + 24.

Resposta

\det(A)=16

Exercícios relacionados