Calcule o determinante utilizando o Desenvolvimento de Laplace:
A=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\\\ 3 & -1 & 4 \\\\ 1 & 2 & 5 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz A usando o desenvolvimento de Laplace. A matriz fornecida é
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\\\ 3 & -1 & 4 \\\\ 1 & 2 & 5 \end{pmatrix}.
Informações relevantes que temos:
  • Os elementos da primeira linha são a_{11}=2, a_{12}=1, a_{13}=0.
  • Os elementos das outras linhas são dados pela matriz acima.
  • O pedido é o valor numérico do determinante \det(A) obtido pelo desenvolvimento de Laplace (expansão por cofatores).

Passo 2

Explicando a fórmula do desenvolvimento de Laplace (cofatores) de forma clara e didática:
Para qualquer matriz quadrada n\times n, o determinante pode ser calculado expandindo por uma linha i (ou por uma coluna j) segundo
\det(A)=\sum_{j=1}^{n} a_{ij}\,C_{ij},
onde a_{ij} é o elemento da matriz na linha i e coluna j, e C_{ij} é o cofator correspondente. O cofator C_{ij} é definido por
C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}),
sendo M_{ij} a matriz obtida de A eliminando-se a linha i e a coluna j (essa \det(M_{ij}) é chamada de menor de ordem n-1).
Para matrizes 2\times2 a fórmula do determinante é simples: se
B=\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix},
então
\det(B)=ad-bc.
Essa fórmula será usada ao calcular os menores 2\times2 que aparecerem.

Passo 3

Por que escolher determinada linha/coluna para expandir? Dica prática: escolha uma linha ou coluna com zeros para simplificar (termos vão desaparecer). Aqui a primeira linha tem a_{13}=0, então é uma boa escolha expandir pela primeira linha ( i=1). Assim
\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}.

Passo 4

Calcular o menor M_{11} (removendo linha 1 e coluna 1) e seu determinante:
O menor é a matriz 2\times2
M_{11}=\begin{pmatrix} -1 & 4 \\\\ 2 & 5 \end{pmatrix}.
Aplicando a fórmula ad-bc temos
\det(M_{11}) = (-1)\cdot 5 - 4\cdot 2 = -5 - 8 = -13.

Passo 5

Calcular o menor M_{12} (removendo linha 1 e coluna 2) e seu determinante:
O menor é
M_{12}=\begin{pmatrix} 3 & 4 \\\\ 1 & 5 \end{pmatrix}.
Aplicando ad-bc obtemos
\det(M_{12}) = 3\cdot 5 - 4\cdot 1 = 15 - 4 = 11.

Passo 6

Calcular os cofatores C_{11} e C_{12} usando C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}):
  • Para i=1,j=1:
C_{11}=(-1)^{1+1}\det(M_{11}) = (+1)\cdot(-13) = -13.
  • Para i=1,j=2:
C_{12}=(-1)^{1+2}\det(M_{12}) = (-1)\cdot 11 = -11.
O cofator C_{13} existe, mas como a_{13}=0 o termo correspondente na expansão será zero e não precisamos calcular \det(M_{13}).

Passo 7

Agora montar a expansão de Laplace pela primeira linha e calcular:
\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}
Substituindo os valores conhecidos:
\det(A)=2\cdot(-13)+1\cdot(-11)+0\cdot(C_{13}).
Fazendo as multiplicações e soma:
\det(A)=-26-11=-37.

Resposta

\det(A)=-37

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