os cofatores de A (ou seja, os números C_{11},C_{12},C_{21},C_{22});
a matriz de cofatores (matriz com os C_{ij} posicionados conforme A);
a matriz adjunta (também chamada adjugate, que é a transposta da matriz de cofatores);
a matriz inversa A^{-1}, se existir.
As informações relevantes que temos: os quatro elementos de A são a_{11}=2, a_{12}=-1, a_{21}=1, a_{22}=3.
Passo 2
Definição e cálculo dos menores (passo intermediário necessário para os cofatores).
Definição: o menor M_{ij} é o determinante da matriz obtida ao eliminar a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A. Para 2\times2, ao remover uma linha e coluna sobra um único número e o determinante desse “1\times1” é simplesmente esse número.
Calculemos cada menor:
M_{11}: eliminar linha 1 e coluna 1 deixa o elemento a_{22}=3. Logo
M_{11}=3.
M_{12}: eliminar linha 1 e coluna 2 deixa o elemento a_{21}=1. Logo
M_{12}=1.
M_{21}: eliminar linha 2 e coluna 1 deixa o elemento a_{12}=-1. Logo
M_{21}=-1.
M_{22}: eliminar linha 2 e coluna 2 deixa o elemento a_{11}=2. Logo
M_{22}=2.
Passo 3
Definição e cálculo dos cofatores.
Definição: o cofator C_{ij} é dado por C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}. A expressão (-1)^{i+j} determina o sinal alternado conforme a posição.
Aplicando a definição para cada elemento:
Para C_{11}: i+j=1+1=2, então (-1)^{2}=+1. Assim
C_{11}=(-1)^{2}M_{11}=+1\cdot 3=3.
Para C_{12}: i+j=1+2=3, então (-1)^{3}=-1. Assim
C_{12}=(-1)^{3}M_{12}=-1\cdot 1=-1.
Para C_{21}: i+j=2+1=3, então (-1)^{3}=-1. Assim
C_{21}=(-1)^{3}M_{21}=-1\cdot(-1)=+1.
Para C_{22}: i+j=2+2=4, então (-1)^{4}=+1. Assim
C_{22}=(-1)^{4}M_{22}=+1\cdot 2=2.
Portanto os cofatores (valores individuais) são C_{11}=3, C_{12}=-1, C_{21}=1, C_{22}=2.
Passo 4
Formação da matriz de cofatores.
Definição: a matriz de cofatores é a matriz que tem em cada posição (i,j) o cofator C_{ij}.