Considere a matriz
A=\left[\begin{array}{cc} 2 & -1 \\\\ 1 & 3 \end{array}\right]
Determine:
  1. os cofatores de A;
  2. a matriz de cofatores;
  3. a matriz adjunta;
  4. a matriz inversa (se existir).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\left[\begin{array}{cc} 2 & -1 \\\\ 1 & 3 \end{array}\right]
e pede quatro coisas:
  1. os cofatores de A (ou seja, os números C_{11},C_{12},C_{21},C_{22});
  2. a matriz de cofatores (matriz com os C_{ij} posicionados conforme A);
  3. a matriz adjunta (também chamada adjugate, que é a transposta da matriz de cofatores);
  4. a matriz inversa A^{-1}, se existir.
As informações relevantes que temos: os quatro elementos de A são a_{11}=2, a_{12}=-1, a_{21}=1, a_{22}=3.

Passo 2

Definição e cálculo dos menores (passo intermediário necessário para os cofatores).
  • Definição: o menor M_{ij} é o determinante da matriz obtida ao eliminar a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A. Para 2\times2, ao remover uma linha e coluna sobra um único número e o determinante desse “1\times1” é simplesmente esse número.
Calculemos cada menor:
  • M_{11}: eliminar linha 1 e coluna 1 deixa o elemento a_{22}=3. Logo
M_{11}=3.
  • M_{12}: eliminar linha 1 e coluna 2 deixa o elemento a_{21}=1. Logo
M_{12}=1.
  • M_{21}: eliminar linha 2 e coluna 1 deixa o elemento a_{12}=-1. Logo
M_{21}=-1.
  • M_{22}: eliminar linha 2 e coluna 2 deixa o elemento a_{11}=2. Logo
M_{22}=2.

Passo 3

Definição e cálculo dos cofatores.
  • Definição: o cofator C_{ij} é dado por C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}. A expressão (-1)^{i+j} determina o sinal alternado conforme a posição.
Aplicando a definição para cada elemento:
  • Para C_{11}: i+j=1+1=2, então (-1)^{2}=+1. Assim
C_{11}=(-1)^{2}M_{11}=+1\cdot 3=3.
  • Para C_{12}: i+j=1+2=3, então (-1)^{3}=-1. Assim
C_{12}=(-1)^{3}M_{12}=-1\cdot 1=-1.
  • Para C_{21}: i+j=2+1=3, então (-1)^{3}=-1. Assim
C_{21}=(-1)^{3}M_{21}=-1\cdot(-1)=+1.
  • Para C_{22}: i+j=2+2=4, então (-1)^{4}=+1. Assim
C_{22}=(-1)^{4}M_{22}=+1\cdot 2=2.
Portanto os cofatores (valores individuais) são C_{11}=3, C_{12}=-1, C_{21}=1, C_{22}=2.

Passo 4

Formação da matriz de cofatores.
  • Definição: a matriz de cofatores é a matriz que tem em cada posição (i,j) o cofator C_{ij}.
Colocando os valores encontrados:
\text{Matriz de cofatores}= \left[\begin{array}{cc} C_{11} & C_{12} \\\ C_{21} & C_{22} \end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc} 3 & -1 \\\\ 1 & 2 \end{array}\right].

Passo 5

Cálculo da matriz adjunta (adjugate).
  • Definição: a matriz adjunta, denotada \operatorname{adj}(A), é a transposta da matriz de cofatores. Ou seja,
\operatorname{adj}(A)=(\text{matriz de cofatores})^{T}.
Transpondo a matriz de cofatores obtida:
\operatorname{adj}(A)= \left[\begin{array}{cc} 3 & 1 \\\\ -1 & 2 \end{array}\right].

Passo 6

Determinante de A e existência da inversa.
  • Para uma matriz 2\times2 com entradas a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}, o determinante é
\det(A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.
Aqui a_{11}=2, a_{12}=-1, a_{21}=1, a_{22}=3. Então
\det(A)=2\cdot 3 - (-1)\cdot 1 =6+1=7.
Como \det(A)=7\neq 0, a matriz A é invertível e a inversa existe.

Passo 7

Cálculo da matriz inversa.
  • Fórmula geral (para matriz invertível): A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A).
    Usando \det(A)=7 e \operatorname{adj}(A)=\left[\begin{array}{cc}3 & 1 \\\\ -1 & 2\end{array}\right], obtemos
A^{-1}=\frac{1}{7} \left[\begin{array}{cc} 3 & 1 \\\\ -1 & 2 \end{array}\right].
Isso pode ser deixado na forma fracionária ou multiplicando cada entrada por 1/7:
A^{-1}= \left[\begin{array}{cc} \frac{3}{7} & \frac{1}{7} \\\\ -\frac{1}{7} & \frac{2}{7} \end{array}\right].

Resposta

  1. C_{11}=3,\;C_{12}=-1,\;C_{21}=1,\;C_{22}=2
  2. \left[\begin{array}{cc}3 & -1 \\[4pt] 1 & 2\end{array}\right]
  3. \operatorname{adj}(A)=\left[\begin{array}{cc}3 & 1 \\[4pt] -1 & 2\end{array}\right]
  4. A^{-1}=\dfrac{1}{7}\left[\begin{array}{cc}3 & 1 \\[4pt] -1 & 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\dfrac{3}{7} & \dfrac{1}{7} \\[4pt] -\dfrac{1}{7} & \dfrac{2}{7}\end{array}\right]]

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