Calcule o determinante |\mathrm{B}| pelo Método de Gauss-Jordan.
|\mathrm{B}|=\begin{array}{ccc} 3 & 1 & 2 \\\\ 4 & -6 & -6 \\\\ -6 & -2 & -4 \end{array}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante |\mathrm{B}| da matriz \mathrm{B} usando o método de Gauss-Jordan. A matriz dada é
\mathrm{B}=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\\\ 4 & -6 & -6 \\\\ -6 & -2 & -4 \end{pmatrix}.
As informações relevantes que temos são exatamente os elementos dessa matriz e a instrução de usar operações elementares de linha (Gauss-Jordan) para chegar ao valor do determinante.

Passo 2

Antes de começar, um lembrete didático sobre como as operações elementares de linha afetam o determinante — isso é crucial para usar Gauss-Jordan sem errar o valor final:
  • Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
  • Multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k.
  • Adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha (por exemplo L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j) não altera o determinante.
No método de Gauss-Jordan costuma-se usar combinações desses passos para eliminar entradas e chegar a uma forma escalonada (ou à identidade). Para manter o controle do determinante é bom, quando possível, utilizar apenas operações do tipo “adicionar múltiplo de outra linha”, pois elas não alteram o determinante.

Passo 3

Vamos começar as eliminações usando apenas operações que não alteram o determinante (adição de múltiplos de linhas), com o objetivo de zerar as entradas abaixo do pivô da primeira coluna.
Tomamos L_1=(3,1,2), L_2=(4,-6,-6), L_3=(-6,-2,-4).
  • Eliminação em L_2: faça L_2 \leftarrow L_2 - \dfrac{4}{3}L_1. Isso usa um múltiplo de L_1 somado a L_2, logo o determinante não muda. Vamos calcular cada entrada nova de L_2:
    Primeira entrada:
    4 - \frac{4}{3}\cdot 3 = 4 - 4 = 0.
    Segunda entrada:
    -6 - \frac{4}{3}\cdot 1 = -6 - \frac{4}{3} = -\frac{18}{3} - \frac{4}{3} = -\frac{22}{3}.
    Terceira entrada:
    -6 - \frac{4}{3}\cdot 2 = -6 - \frac{8}{3} = -\frac{18}{3} - \frac{8}{3} = -\frac{26}{3}.
    Então após a operação
    L_2 = \left(0,\; -\frac{22}{3},\; -\frac{26}{3}\right).
  • Eliminação em L_3: faça L_3 \leftarrow L_3 + 2L_1. Novamente, é uma adição de múltiplo de outra linha, portanto o determinante permanece inalterado. Calculemos:
    Primeira entrada:
    -6 + 2\cdot 3 = -6 + 6 = 0.
    Segunda entrada:
    -2 + 2\cdot 1 = -2 + 2 = 0.
    Terceira entrada:
    -4 + 2\cdot 2 = -4 + 4 = 0.
    Assim
    L_3 = (0,\,0,\,0).
Depois dessas duas operações temos a matriz
\begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\\\ 0 & -\dfrac{22}{3} & -\dfrac{26}{3} \\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
obtida apenas por operações do tipo L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j.

Passo 4

Observação importante (didática): uma linha completamente nula numa matriz implica que as linhas são linearmente dependentes, e isso torna o determinante da matriz igual a zero. Como chegamos a essa linha nula usando apenas operações que não alteram o determinante, concluímos que o determinante original tem o mesmo valor que o determinante da matriz escalonada acima — ou seja, o determinante é nulo.

Passo 5

Resumo do raciocínio em estilo “para a prova”: ao aplicar Gauss-Jordan usando somente adição de múltiplos de linhas (operadores que não mudam o determinante) obteve-se uma linha nula. Uma linha nula implica determinante zero. Assim, sem necessidade de multiplicar ou trocar linhas, o valor buscado é zero.

Resposta

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