As informações relevantes que temos são exatamente os elementos dessa matriz e a instrução de usar operações elementares de linha (Gauss-Jordan) para chegar ao valor do determinante.
Passo 2
Antes de começar, um lembrete didático sobre como as operações elementares de linha afetam o determinante — isso é crucial para usar Gauss-Jordan sem errar o valor final:
Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
Multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k.
Adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha (por exemplo L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j) não altera o determinante.
No método de Gauss-Jordan costuma-se usar combinações desses passos para eliminar entradas e chegar a uma forma escalonada (ou à identidade). Para manter o controle do determinante é bom, quando possível, utilizar apenas operações do tipo “adicionar múltiplo de outra linha”, pois elas não alteram o determinante.
Passo 3
Vamos começar as eliminações usando apenas operações que não alteram o determinante (adição de múltiplos de linhas), com o objetivo de zerar as entradas abaixo do pivô da primeira coluna.
Eliminação em L_2: faça L_2 \leftarrow L_2 - \dfrac{4}{3}L_1. Isso usa um múltiplo de L_1 somado a L_2, logo o determinante não muda. Vamos calcular cada entrada nova de L_2:
Eliminação em L_3: faça L_3 \leftarrow L_3 + 2L_1. Novamente, é uma adição de múltiplo de outra linha, portanto o determinante permanece inalterado. Calculemos:
obtida apenas por operações do tipo L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j.
Passo 4
Observação importante (didática): uma linha completamente nula numa matriz implica que as linhas são linearmente dependentes, e isso torna o determinante da matriz igual a zero. Como chegamos a essa linha nula usando apenas operações que não alteram o determinante, concluímos que o determinante original tem o mesmo valor que o determinante da matriz escalonada acima — ou seja, o determinante é nulo.
Passo 5
Resumo do raciocínio em estilo “para a prova”: ao aplicar Gauss-Jordan usando somente adição de múltiplos de linhas (operadores que não mudam o determinante) obteve-se uma linha nula. Uma linha nula implica determinante zero. Assim, sem necessidade de multiplicar ou trocar linhas, o valor buscado é zero.