Considere um sistema de equações lineares com 8 equações e 8 incógnitas. Quantas operações aritméticas são necessárias para solucioná-lo pelo Método da Eliminação Gaussiana?
Dica: Procure no Livro da Ruggiero a seção do Método de Gauss.
Dica: Procure no Livro da Ruggiero a seção do Método de Gauss.
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear com
equações e
incógnitas e pede: quantas operações aritméticas são necessárias para solucioná‑lo pelo Método da Eliminação de Gauss?
Informações úteis do enunciado:
Informações úteis do enunciado:
- Número de equações/ incógnitas:
. - Método pedido: Eliminação de Gauss (eliminação para triangular superior seguida de retro‑substituição).
- Não há imagem ou dados adicionais.
Passo 2
Entendendo, passo a passo, o que o Método de Gauss faz (explicação didática e sem pular etapas).
- Primeiro faz a eliminação (passo direto) para transformar
em uma matriz triangular superior aplicando operações elementares em linhas. Isso envolve, para cada pivô, computar multiplicadores e atualizar as entradas das linhas abaixo. - Depois faz a retro‑substituição (passo inverso) para encontrar as incógnitas a partir da matriz triangular superior.
Vamos contar explicitamente as operações aritméticas (somar/subtrair, multiplicar, dividir). Cada uma dessas será contada como uma operação unitária.
Passo 3
Contagem das operações no passo de eliminação (passo direto), em termos de
.
Considere os pivôs numerados . Para um pivô fixo
:
Considere os pivôs numerados
- O número de linhas que precisam ser eliminadas abaixo do pivô é
. Para cada uma dessas linhas (índice ): - Calcula‑se o multiplicador
: isso é divisão por linha. - Para cada coluna
(ou seja, colunas) atualiza‑se : para cada são multiplicação e subtração, total operações por coluna. - Também atualiza‑se o termo independente (RHS)
: isso é mais multiplicação e subtração, total operações por linha (independente do número de colunas).
- Calcula‑se o multiplicador
- Portanto, por cada linha que é eliminada (fixo
), o número de operações é
- Como há
linhas a serem eliminadas para o pivô , o total de operações para esse pivô é
- Somando isso para todos os pivôs
até (mude a variável para , que varia de até ), obtemos o total de operações do passo de eliminação:
Passo 4
Avaliação da soma
em forma fechada (fórmulas de somatórios).
Usamos as fórmulas conhecidas:
Usamos as fórmulas conhecidas:
Substituindo em
:
Simplificando:
Multiplicando e combinando termos (colocando em um único quociente):
Isto é o número total de operações (divisões, multiplicações e adições/subtrações) gastas no processo de eliminação direta.
Passo 5
Contagem das operações na retro‑substituição.
Após obter a matriz triangular superior, determina‑se as incógnitas por retro‑substituição: para calcula‑se
Após obter a matriz triangular superior, determina‑se as incógnitas por retro‑substituição: para
Para cada
:
- O somatório
exige multiplicações e adições (ou subtrações) para formar o acumulador (contando cada adição/subtração como uma operação). - Depois há
divisão para finalizar .
Portanto, por linhasão operações. Somando para a :
Logo, a retro‑substituição exige exatamente
operações aritméticas.
Passo 6
Total de operações para resolver o sistema por Gauss = eliminação + retro‑substituição:
Podemos simplificar essa expressão:
Esta fórmula dá o número total de operações (adições/subtrações, multiplicações e divisões) necessárias para resolver um sistema
por eliminação de Gauss seguido de retro‑substituição, com a convenção de contagem usada acima.
Passo 7
Agora aplique para
. Substituindo em qualquer uma das fórmulas:
- Usando a forma fatorada para
:
- Retro‑substituição:
- Total: