Considere um sistema de equações lineares com 8 equações e 8 incógnitas. Quantas operações aritméticas são necessárias para solucioná-lo pelo Método da Eliminação Gaussiana?
Dica: Procure no Livro da Ruggiero a seção do Método de Gauss.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com 8 equações e 8 incógnitas e pede: quantas operações aritméticas são necessárias para solucioná‑lo pelo Método da Eliminação de Gauss?
Informações úteis do enunciado:
  • Número de equações/ incógnitas: n=8.
  • Método pedido: Eliminação de Gauss (eliminação para triangular superior seguida de retro‑substituição).
  • Não há imagem ou dados adicionais.

Passo 2

Entendendo, passo a passo, o que o Método de Gauss faz (explicação didática e sem pular etapas).
  • Primeiro faz a eliminação (passo direto) para transformar A em uma matriz triangular superior U aplicando operações elementares em linhas. Isso envolve, para cada pivô, computar multiplicadores e atualizar as entradas das linhas abaixo.
  • Depois faz a retro‑substituição (passo inverso) para encontrar as incógnitas a partir da matriz triangular superior.
Vamos contar explicitamente as operações aritméticas (somar/subtrair, multiplicar, dividir). Cada uma dessas será contada como uma operação unitária.

Passo 3

Contagem das operações no passo de eliminação (passo direto), em termos de n.
Considere os pivôs numerados k=1,2,\dots,n-1. Para um pivô fixo k:
  • O número de linhas que precisam ser eliminadas abaixo do pivô é n-k. Para cada uma dessas linhas (índice i):
    1. Calcula‑se o multiplicador m=\dfrac{a_{ik}}{a_{kk}}: isso é 1 divisão por linha.
    2. Para cada coluna j=k+1,\dots,n (ou seja, n-k colunas) atualiza‑se a_{ij}\leftarrow a_{ij}-m\cdot a_{kj}: para cada j são 1 multiplicação e 1 subtração, total 2 operações por coluna.
    3. Também atualiza‑se o termo independente (RHS) b_i\leftarrow b_i-m\cdot b_k: isso é mais 1 multiplicação e 1 subtração, total 2 operações por linha (independente do número de colunas).
  • Portanto, por cada linha que é eliminada (fixo k), o número de operações é
1\\ (\text{divisão}) \;+\; 2(n-k)\\ (\text{atualizações das colunas}) \;+\; 2\\ (\text{atualização do RHS}) = 3 + 2(n-k).ãçõçã
  • Como há n-k linhas a serem eliminadas para o pivô k, o total de operações para esse pivô é
(n-k)\bigl(3 + 2(n-k)\bigr) = 3(n-k) + 2(n-k)^2.
  • Somando isso para todos os pivôs k=1 até n-1 (mude a variável para m=n-k, que varia de 1 até n-1), obtemos o total de operações do passo de eliminação:
E=\sum_{m=1}^{n-1} \bigl(3m + 2m^2\bigr).

Passo 4

Avaliação da soma E em forma fechada (fórmulas de somatórios).
Usamos as fórmulas conhecidas:
\sum_{m=1}^{n-1} m = \frac{n(n-1)}{2},\qquad \sum_{m=1}^{n-1} m^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}.
Substituindo em E:
E = 3\cdot\frac{n(n-1)}{2} \;+\; 2\cdot\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}.
Simplificando:
E = \frac{3}{2}n(n-1) \;+\; \frac{1}{3}n(n-1)(2n-1).
Multiplicando e combinando termos (colocando em um único quociente):
E = \frac{n(n-1)(4n+7)}{6}.
Isto é o número total de operações (divisões, multiplicações e adições/subtrações) gastas no processo de eliminação direta.

Passo 5

Contagem das operações na retro‑substituição.
Após obter a matriz triangular superior, determina‑se as incógnitas por retro‑substituição: para i=n,n-1,\dots,1 calcula‑se
x_i = \frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_i - \sum_{j=i+1}^{n} a_{ij}x_j\Bigr).
Para cada i:
  • O somatório \sum_{j=i+1}^n a_{ij}x_j exige n-i multiplicações e n-i adições (ou subtrações) para formar o acumulador (contando cada adição/subtração como uma operação).
  • Depois há 1 divisão para finalizar x_i.
    Portanto, por linha i são 2(n-i)+1 operações. Somando para i=1 a n:
B = \sum_{i=1}^{n} \bigl(2(n-i)+1\bigr) = 2\sum_{m=0}^{n-1} m + n = 2\cdot\frac{n(n-1)}{2} + n = n^2.
Logo, a retro‑substituição exige exatamente n^2 operações aritméticas.

Passo 6

Total de operações para resolver o sistema por Gauss = eliminação + retro‑substituição:
T = E + B = \frac{n(n-1)(4n+7)}{6} + n^2.
Podemos simplificar essa expressão:
T = \frac{4n^3 + 9n^2 -7n}{6}.
Esta fórmula dá o número total de operações (adições/subtrações, multiplicações e divisões) necessárias para resolver um sistema n\times n por eliminação de Gauss seguido de retro‑substituição, com a convenção de contagem usada acima.

Passo 7

Agora aplique para n=8. Substituindo em qualquer uma das fórmulas:
  • Usando a forma fatorada para E:
E = \frac{n(n-1)(4n+7)}{6} = \frac{8\cdot 7\cdot 39}{6} = 364.
  • Retro‑substituição:
B = n^2 = 8^2 = 64.
  • Total:
T = E + B = 364 + 64 = 428.

Resposta

\,428 operações aritméticas.

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