Calcule o determinante |\mathrm{A}|.
|A|=\begin{array}{rrr} 3 & 4 & -5 \\ 0 & 6 & 7 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante |A| da matriz A. A matriz fornecida tem entradas:
A=\begin{pmatrix} 3 & 4 & -5 \\\\ 0 & 6 & 7 \\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
Informações relevantes dadas:
  • É uma matriz 3\times3.
  • Os elementos da diagonal principal são 3, 6 e 2.
  • Há zeros abaixo da diagonal principal (posições (2,1), (3,1) e (3,2)).

Passo 2

Estratégia concreta (expansão por cofactores numa coluna com muitos zeros). Vou usar a expansão de Laplace pela primeira coluna, porque nessa coluna há dois zeros e isso simplifica muito o cálculo. Lembrete da fórmula de expansão pela coluna 1 para uma matriz 3\times3:
\det(A)=\sum_{i=1}^{3}(-1)^{i+1}a_{i1}\det(M_{i1}),
onde a_{i1} é o elemento da matriz na linha i, coluna 1, e M_{i1} é a matriz 2\times2 que sobra ao eliminar a linha i e a coluna 1.

Passo 3

Aplicando a expansão pela primeira coluna: os elementos a_{21} e a_{31} são zeros (peguei isso da matriz fornecida), então só sobra o termo i=1:
\det(A)=a_{11}\det\big(M_{11}\big)=3\det\begin{pmatrix}6 & 7 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}.
Agora calculo o determinante da matriz 2\times2. Para uma matriz \begin{pmatrix}p & q\\\ r & s\end{pmatrix} vale
\det\begin{pmatrix}p & q\\\ r & s\end{pmatrix}=p\cdot s - q\cdot r,
onde p,q,r,s são os elementos conforme a posição (essa é a fórmula padrão para determinante 2\times2).]

Passo 4

Usando a fórmula no nosso 2\times2:
\det\begin{pmatrix}6 & 7 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}=6\cdot 2 - 7\cdot 0 = 12.
Portanto
\det(A)=3\cdot 12 = 36.
Pequeno comentário motivacional: simplificou bastante porque a presença de zeros na coluna permitiu evitar cálculos mais longos — essa é uma boa dica para a prova: sempre procure linhas ou colunas com zeros para expandir.]

Resposta

|A|=36

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