Crie um sistema de 2 equações lineares e 2 incógnitas cuja solução seja \times 1=-7 e \times 2=4.
Verifique se o sistema proposto tem a solução solicitada.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Criar um sistema de 2 equações lineares com 2 incógnitas cuja solução seja \times 1 = -7 e \times 2 = 4.
  • Verificar se o sistema proposto tem a solução solicitada.
Informações dadas (o que devemos garantir):
  • A solução desejada é \times 1 = -7 e \times 2 = 4.
  • Devemos fornecer um sistema linear com duas equações em duas incógnitas que confirme essa solução.

Passo 2

Formato geral de um sistema linear [2 \times 2).
Um sistema linear com duas incógnitas \times 1 e \times 2 pode ser escrito na forma
\begin{cases} a_{11}\,\times 1 + a_{12}\,\times 2 = b_1,\\[4pt] a_{21}\,\times 1 + a_{22}\,\times 2 = b_2, \end{cases}
onde a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}\] são coeficientes (números) e \(b_1,b_2 são termos constantes.
Para construir um sistema que tenha uma solução específica (\times 1,\times 2), basta escolher coeficientes a_{ij} e calcular b_1,b_2 usando essa solução, ou seja:
b_1 = a_{11}\cdot(\times 1) + a_{12}\cdot(\times 2), \qquad b_2 = a_{21}\cdot(\times 1) + a_{22}\cdot(\times 2).
Essa é a ideia: escolho coeficientes simples e determino os b para que a solução desejada satisfaça as equações.]

Passo 3

Escolha de um sistema simples.
Vou escolher coeficientes simples para ficar fácil de calcular à mão. Por exemplo:
a_{11}=1,\quad a_{12}=1 \qquad\text{e}\qquad a_{21}=2,\quad a_{22}=-1.
Agora calculo b_1 e b_2 usando a solução desejada \times 1=-7 e \times 2=4.

Passo 4

Cálculo dos termos constantes b_1 e b_2.
Calculo b_1 usando a primeira linha escolhida:
b_1 = a_{11}\cdot(\times 1) + a_{12}\cdot(\times 2) = 1\cdot(-7) + 1\cdot 4 = -7 + 4 = -3.
Calculo b_2 usando a segunda linha escolhida:
b_2 = a_{21}\cdot(\times 1) + a_{22}\cdot(\times 2) = 2\cdot(-7) + (-1)\cdot 4 = -14 - 4 = -18.
Portanto o sistema proposto é
\begin{cases} \; \times 1 + \times 2 = -3,\\[4pt] \; 2\:\times 1 - \times 2 = -18. \end{cases}]

Passo 5

Como verificar se uma solução realmente resolve o sistema (método da substituição direta).
A verificação mais direta é substituir \times 1=-7 e \times 2=4 em cada equação e checar se as igualdades ficam verdadeiras.
Substituindo na primeira equação:
(\times 1) + (\times 2) = -7 + 4 = -3,
que é exatamente o lado direito da primeira equação. Logo a primeira equação é satisfeita.
Substituindo na segunda equação:
2\cdot(\times 1) - (\times 2) = 2\cdot(-7) - 4 = -14 - 4 = -18,
que é exatamente o lado direito da segunda equação. Logo a segunda equação também é satisfeita.
Como ambas as equações são satisfeitas, a solução \times 1=-7,\\ \times 2=4 resolve o sistema.

Passo 6

Checagem adicional: o sistema tem solução única? (noções e cálculo rápido)
Para um sistema 2\times2 com coeficientes
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\[2pt] a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\[2pt] 2 & -1 \end{pmatrix},
o determinante é dado por
\Delta = a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12}.
Calculo:
\Delta = 1\cdot(-1) - 2\cdot 1 = -1 - 2 = -3.
Como \Delta \neq 0, o sistema tem solução única. A verificação por substituição já mostrou qual é essa solução, e a existência de determinante não nulo garante que não há ambiguidade.]

Passo 7

Resolver o sistema por eliminação para confirmar (passo a passo como se fosse prova).
Sistema:
\begin{cases} \; \times 1 + \times 2 = -3,\\[4pt] \; 2\:\times 1 - \times 2 = -18. \end{cases}
Somando as duas equações para eliminar \times 2:
(\times 1 + \times 2) + (2\:\times 1 - \times 2) = -3 + (-18).
No lado esquerdo \times 2 cancela e fica:
3\:\times 1 = -21.
Logo
\times 1 = \frac{-21}{3} = -7.
Substituo \times 1=-7 na primeira equação para achar \times 2:
-7 + \times 2 = -3 \quad\Rightarrow\quad \times 2 = -3 - (-7) = 4.
Obtive exatamente \times 1=-7 e \times 2=4, confirmando de novo.]

Resposta

\begin{cases}\times 1 + \times 2 = -3,\\[4pt]2\:\times 1 - \times 2 = -18\end{cases}
Verificação: \times 1=-7,\\ \times 2=4 (substituição confirma ambas as equações).]

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