Crie um sistema de 2 equações lineares e 2 incógnitas cuja solução seja
e
.
Verifique se o sistema proposto tem a solução solicitada.
Verifique se o sistema proposto tem a solução solicitada.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Criar um sistema de
equações lineares com incógnitas cuja solução seja e . - Verificar se o sistema proposto tem a solução solicitada.
Informações dadas (o que devemos garantir):
- A solução desejada é
e . - Devemos fornecer um sistema linear com duas equações em duas incógnitas que confirme essa solução.
Passo 2
Formato geral de um sistema linear [2 \times 2).
Um sistema linear com duas incógnitas
e
pode ser escrito na forma
onde
são termos constantes.
Para construir um sistema que tenha uma solução específica
, basta escolher coeficientes
e calcular
usando essa solução, ou seja:
Essa é a ideia: escolho coeficientes simples e determino os
para que a solução desejada satisfaça as equações.]
Passo 3
Escolha de um sistema simples.
Vou escolher coeficientes simples para ficar fácil de calcular à mão. Por exemplo:
Agora calculo
e
usando a solução desejada
e
.
Passo 4
Cálculo dos termos constantes
e
.
Calculo
usando a primeira linha escolhida:
Calculo
usando a segunda linha escolhida:
Portanto o sistema proposto é
Passo 5
Como verificar se uma solução realmente resolve o sistema (método da substituição direta).
A verificação mais direta é substituir
e
em cada equação e checar se as igualdades ficam verdadeiras.
Substituindo na primeira equação:
que é exatamente o lado direito da primeira equação. Logo a primeira equação é satisfeita.
Substituindo na segunda equação:
que é exatamente o lado direito da segunda equação. Logo a segunda equação também é satisfeita.
Como ambas as equações são satisfeitas, a solução
resolve o sistema.
Passo 6
Checagem adicional: o sistema tem solução única? (noções e cálculo rápido)
Para um sistema
com coeficientes
o determinante é dado por
Calculo:
Como
, o sistema tem solução única. A verificação por substituição já mostrou qual é essa solução, e a existência de determinante não nulo garante que não há ambiguidade.]
Passo 7
Resolver o sistema por eliminação para confirmar (passo a passo como se fosse prova).
Sistema:
Somando as duas equações para eliminar
:
No lado esquerdo
cancela e fica:
Logo
Substituo
na primeira equação para achar
:
Obtive exatamente
e
, confirmando de novo.]
Resposta
Verificação:
(substituição confirma ambas as equações).]