É muitas vezes útil saber expressar um subespaço vetorial de como o conjunto solução de algum sistema linear homogêneo em variáveis (isto permite, por exemplo, decidir de maneira rápida se um dado vetor está ou não em ).
Faça isto para cada subespaço vetorial abaixo, isto é, encontre um sistema linear homogêneo em variáveis cujo conjunto solução seja igual a :
(d) dado por , onde .
Passo 1
O enunciado pede para descrever o subespaço
como conjunto de soluções de um sistema linear homogêneo em 5 variáveis.
Conteúdo: ortogonalidade e complemento ortogonal (anulador). Vamos achar todos os vetores em que satisfaçam para ; esses vetores formam ,
e suas equações definem o sistema cujo núcleo é .
Passo 2
Seja um vetor ortogonal a cada gerador. As condições são
Passo 3
Resolvendo
a - c + e = 0, b + c = 0, a + b - c + 2d - e = 0,
da segunda equação vem b=-c. Da primeira, a=c-e. Substituindo na terceira:
Cada vetor de W4 deve anular w1 e w2. Assim o sistema homogêneo cuja solução é exatamente W4 tem como equações as entradas de w1 e w2 vestidas de coeficientes: