É muitas vezes útil saber expressar um subespaço vetorial W de R^n como o conjunto solução de algum sistema linear homogêneo em n variáveis (isto permite, por exemplo, decidir de maneira rápida se um dado vetor v in R^n está ou não em W ).
Faça isto para cada subespaço vetorial W subset R^n abaixo, isto é, encontre um sistema linear homogêneo em n variáveis cujo conjunto solução seja igual a W :
(d) W4 subset R^5 dado por W4=>=r[v1, v2, v3], onde v1=(1,0,-1,0,1), v2= (0,1,1,0,0), v3=(1,1,-1,2,-1).

Passo 1

O enunciado pede para descrever o subespaço
W4=>=rv1,v2,v3subsetR^5
como conjunto de soluções de um sistema linear homogêneo em 5 variáveis.
Conteúdo: ortogonalidade e complemento ortogonal (anulador). Vamos achar todos os vetores
(a,b,c,d,e) em R^5 que satisfaçam
(a,b,c,d,e)cdot vi=0 para i=1,2,3; esses vetores formam W4^perp,
e suas equações definem o sistema cujo núcleo é W4.

Passo 2

Seja (a,b,c,d,e) um vetor ortogonal a cada gerador. As condições são
(a,b,c,d,e)cdot v1=a - c + e = 0, (a,b,c,d,e)cdot v2=b + c = 0, (a,b,c,d,e)cdot v3=a + b - c + 2d - e = 0

Passo 3

Resolvendo
a - c + e = 0, b + c = 0, a + b - c + 2d - e = 0,
da segunda equação vem b=-c. Da primeira, a=c-e. Substituindo na terceira:
(c-e)+(-c)-c+2d-e=0;Longrightarrow;-c+2d-2e=0;Longrightarrow;d=tfracc2+e
Para ter coordenadas inteiras, ponha c=2alpha,;e=beta. Então
(a,b,c,d,e)=(2alpha-beta,,-2alpha,,2alpha,;alpha+beta,;beta) =alpha,(2,-2,2,1,0)+beta,(-1,0,0,1,1)
Logo uma base de W4^perp é
w1=(2,-2,2,1,0), w2=(-1,0,0,1,1)

Passo 4

Cada vetor de W4 deve anular w1 e w2. Assim o sistema homogêneo cuja solução é exatamente W4 tem como equações as entradas de w1 e w2 vestidas de coeficientes:
2x1-2x2+2x3+x4+0cdot x5=0, -,x1+0cdot x2+0cdot x3+x4+x5=0

Resposta

2x1-2x2+2x3+x4=0, -,x1+x4+x5=0

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