Calcule o determinante das seguintes matrizes (faça operações elementares nas linhas ou colunas para simplificar o cálculo):
[cccc2 & 5 & -3 & -2 -2 & -3 & 2 & -5 1 & 3 & -2 & 2 -1 & -6 & 4 & 3]

Passo 1

O problema pede o cálculo do determinante de uma matriz 4times4 usando operações elementares em linhas para simplificar. O conteúdo é “determinante” e vamos usar o fato de que somar múltiplos de uma linha a outra não altera o determinante, e em seguida expandir em cofator pela primeira coluna.

Passo 2

Aplique estas operações sem alterar o determinante:
  1. L2>=ts L2+L1
  2. L3>=ts L3-tfrac12L1
  3. L4>=ts L4+tfrac12L1
A matriz fica
2 & 5 & -3 & -2 0 & 2 & -1 & -7 0 & tfrac12 & -tfrac12 & 3 0 & -tfrac72& tfrac52 & 2

Passo 3

Agora só o elemento a11=2 está na primeira coluna. Expandindo pela primeira coluna, temos
det(A)=2cdotdet(M),
onde M é o menor 3times3 obtido eliminando a linha 1 e a coluna 1.

Passo 4

O menor M é
M= 2 & -1 & -7 tfrac12& -tfrac12& 3 -tfrac72& tfrac52 & 2

Passo 5

Calcule det(M) por regra de Sarrus ou expansão em cofatores:
det(M) =2cdotdet!-tfrac12&3tfrac52&2 -(-1)cdotdet!tfrac12&3-tfrac72&2 +(-7)cdotdet!tfrac12&-tfrac12-tfrac72&tfrac52
Calcule cada menor:
det!-tfrac12&3tfrac52&2 =-tfrac12cdot2-3cdottfrac52=-1-tfrac152=-tfrac172,
det!tfrac12&3-tfrac72&2 =tfrac12cdot2-3cdotl(-tfrac72r) =1+tfrac212=tfrac232,
det!tfrac12&-tfrac12-tfrac72&tfrac52 =tfrac12cdottfrac52-l(-tfrac12r)cdotl(-tfrac72r) =tfrac54-tfrac74=-tfrac12
Logo,
det(M) =2cdotl(-tfrac172r) -(-1)cdotl(tfrac232r) +(-7)cdotl(-tfrac12r) =-17+tfrac232+tfrac72 =-17+15=-2

Passo 6

Retornando à expansão,
det(A)=2cdotdet(M)=2cdot(-2)=-4

Resposta

-4

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