Calcule o determinante das seguintes matrizes (faça operações elementares nas linhas ou colunas para simplificar o cálculo):
[cccc1 & 2 & 2 & 3 1 & 0 & -2 & 0 3 & -1 & 1 & -2 4 & -3 & 0 & 2]

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do determinante de uma matriz 4times4. Vamos usar operações elementares de linhas, lembrando que trocar linhas muda o sinal do determinante e que adicionar múltiplos de uma linha a outra não altera o determinante.

Passo 2

Começamos com
A = 1 & 2 & 2 & 3 1 & 0 & -2 & 0 3 & -1 & 1 & -2 4 & -3 & 0 & 2
Fazendo
R2 R2 - R1, R3 R3 - 3R1, R4 R4 - 4R1,
não alteramos o determinante. A matriz fica
1 & 2 & 2 & 3 0 & -2 & -4 & -3 0 & -7 & -5 & -11 0 & -11 & -8 & -10

Passo 3

Como só a primeira coluna tem entrada não nula na primeira linha, podemos desenvolver pela primeira coluna e obter
det(A) = 1 cdot det -2 & -4 & -3 -7 & -5 & -11 -11 & -8 & -10
Definimos
M = -2 & -4 & -3 -7 & -5 & -11 -11 & -8 & -10

Passo 4

Vamos calcular det(M) expandindo pela primeira linha de M. Os menores são
M11 = det -5 & -11 -8 & -10 =(-5)(-10)-(-11)(-8)=50-88=-38,
M12 = det -7 & -11 -11 & -10 =(-7)(-10)-(-11)(-11)=70-121=-51,
M13 = det -7 & -5 -11 & -8 =(-7)(-8)-(-5)(-11)=56-55=1
Logo
det(M) = (-2),M11;-;(-4),M12;+;(-3),M13 = (-2)(-38);-;(-4)(-51);+;(-3)(1) =76-204-3 =-131

Passo 5

Portanto
det(A)=det(M)=-131

Resposta

-131

Exercícios relacionados