Exercício 8. Dado o plano pi determinado pelos pontos A(1,-1,2), B(2,1,-3) e C(-1,-2,6), determine um sistema de equações paramétricas e uma equação geral de pi.

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano pi que passa pelos pontos
A(1,-1,2), B(2,1,-3) e C(-1,-2,6).
Conteúdo: geometria analítica em R^3. Vamos obter primeiro as equações paramétricas (usando vetores diretores) e depois a equação geral (usando vetor normal).

Passo 2

Calculemos dois vetores diretores do plano, tomando
ou seja,
com (s,t\in\mathbb{R}].

Passo 3

Para a forma geral precisamos do vetor normal n=ABtimesAC.
Em determinante,
n = i & j & k 1 & 2 & -5 -2 & -1 & 4 = (3,6,3)

Passo 4

Usando o ponto A(1,-1,2) e n=(3,6,3), a equação cartesiana é
3(x-1)+6(y+1)+3(z-2)=0
que se expande para
3x+6y+3z-3=0
e, dividindo por 3,
x + 2y + z - 1 = 0

Resposta

Equações paramétricas:
x = 1 + s - 2t, y = -1 + 2s - t, z = 2 - 5s + 4t, s,tinR
Equação geral:
x + 2y + z - 1 = 0

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