Exercício 9. Dado o plano pi de equação 2 x-y-z+4=0, determine um sistema de equações paramétricas para o plano pi.

Passo 1

O enunciado dá o plano pi de equação
2x - y - z + 4 = 0
e pede uma representação paramétrica. Para isso precisamos de (i) um ponto qualquer P0 que esteja em pi e (ii) dois vetores diretores v1, v2 ortogonais ao vetor normal n=(2,-1,-1).

Passo 2

Para encontrar um ponto P0inpi, basta atribuir valores simples a duas variáveis e resolver a terceira. Por exemplo, ponha x=0 e y=0. Então da equação do plano
2cdot0 - 0 - z +4 = 0
vem z=4. Logo podemos tomar
P0=(0,0,4)

Passo 3

Precisamos de dois vetores v=(a,b,c) tais que vcdot n=0, isto é,
2a - b - c = 0
Escolhendo b=2 e c=0 obtemos 2a-2=0Rightarrow a=1, logo
v1 = (1,2,0)
Escolhendo b=0 e c=2 obtemos 2a-2=0Rightarrow a=1, logo
v2 = (1,0,2)

Passo 4

A forma vetorial paramétrica do plano é
(x,y,z) = P0 + s, v1 + t, v2,
com s,tinR. Em coordenadas isso dá
x = 0 + s + t, y = 0 + 2s + 0cdot t, z = 4 + 0cdot s + 2t,
ou seja
x = s + t, y = 2s, z = 4 + 2t, s,tinR

Resposta

x = s + t, y = 2s, z = 4 + 2t, s,tinR

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