Considere a matriz \mathrm{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 5 \\\\ 3 & 0 & 1\end{array}\right) e a matriz \mathrm{B}=\left(\begin{array}{lll}2 & 2 & 2 \\\\ 0 & 2 & 2 \\\\ 1 & 1 & 2\end{array}\right). Calcule:
\operatorname{det}\left(A^{-1} B^{T}\right);

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 5\\\\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 2\\\\ 0 & 2 & 2\\\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}
e pede \det\bigl(A^{-1}B^{T}\bigr). O conteúdo principal é usar propriedades de determinantes: produto, inversa e transposta.

Passo 2

Usamos as propriedades:
\det\bigl(A^{-1}B^{T}\bigr) =\det(A^{-1})\;\det\bigl(B^{T}\bigr) =\frac{1}{\det(A)}\;\det(B)
pois \det(A^{-1})=1/\det(A) e \det(B^{T})=\det(B).

Passo 3

Calcular \det(A) por regra de Sarrus ou cofatores. Desenvolvendo pela primeira linha:
\det(A) =1\cdot(1\cdot1-5\cdot0) -0\cdot(0\cdot1-5\cdot3) +1\cdot(0\cdot0-1\cdot3) =1\cdot1+0+1\cdot(-3) =1-3 =-2.

Passo 4

Calcular \det(B) também pela primeira linha:
\det(B) =2\cdot(2\cdot2-2\cdot1) -2\cdot(0\cdot2-2\cdot1) +2\cdot(0\cdot1-2\cdot1) =2\cdot(4-2)-2\cdot(0-2)+2\cdot(0-2) =2\cdot2-2\cdot(-2)+2\cdot(-2) =4+4-4 =4.

Passo 5

Substituindo em
\det\bigl(A^{-1}B^{T}\bigr) =\frac{\det(B)}{\det(A)} =\frac{4}{-2} =-2.

Resposta

-2

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