Calcule o determinante das seguintes matrizes. 5. P=\left[\begin{array}{cccc}2 & 1 & 3 & 0 \\\\ -1 & 0 & 4 & 1 \\\\ 5 & 2 & 1 & -1 \\\\ 3 & 0 & 2 & 2\end{array}\right] Passo 1O enunciado pede o cálculo do determinante da matriz P = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 0\\\\ -1 & 0 & 4 & 1\\\\ 5 & 2 & 1 & -1\\\\ 3 & 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} O conteúdo utilizado será a expansão de Laplace (cofator) ao longo da primeira linha, reduzindo o problema ao cálculo de determinantes de matrizes 3\times3. Passo 2Pela fórmula da expansão de Laplace na primeira linha, temos \det(P) \;=\; 2\cdot M_{11}\;-\;1\cdot M_{12}\;+\;3\cdot M_{13}\;-\;0\cdot M_{14}, onde M_{1j} é o determinante da matriz obtida de P ao eliminar a linha 1 e a coluna j. Como o último termo é multiplicado por zero, fica \det(P) = 2\,M_{11} \;-\; M_{12} \;+\; 3\,M_{13}. Passo 3Cálculo de M_{11}: remover linha 1 e coluna 1 de P dá \begin{pmatrix} 0 & 4 & 1\\\\ 2 & 1 & -1\\\\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}. Usando a regra de Sarrus para 3\times3: M_{11} = \bigl(0\cdot1\cdot2 + 4\cdot(-1)\cdot0 + 1\cdot2\cdot2\bigr) - \bigl(1\cdot1\cdot0 + 0\cdot(-1)\cdot2 + 4\cdot2\cdot2\bigr) = (0 - 0 +4) - (0 - 0 +16) = 4 -16 = -12. Passo 4Cálculo de M_{12}: remover linha 1 e coluna 2 de P dá \begin{pmatrix} -1 & 4 & 1\\\\ 5 & 1 & -1\\\\ 3 & 2 & 2 \end{pmatrix}. Pela regra de Sarrus: M_{12} = \bigl((-1)\cdot1\cdot2 + 4\cdot(-1)\cdot3 + 1\cdot5\cdot2\bigr) - \bigl(1\cdot1\cdot3 + (-1)\cdot(-1)\cdot2 + 4\cdot5\cdot2\bigr) =(-2 -12 +10) - (3 +2 +40) = -4 -45 = -49. Passo 5Cálculo de M_{13}: remover linha 1 e coluna 3 de P dá \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1\\\\ 5 & 2 & -1\\\\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}. Regra de Sarrus: M_{13} = \bigl((-1)\cdot2\cdot2 + 0\cdot(-1)\cdot3 + 1\cdot5\cdot0\bigr) - \bigl(1\cdot2\cdot3 + (-1)\cdot(-1)\cdot0 + 0\cdot5\cdot2\bigr) =(-4 +0 +0) - (6 +0 +0) = -4 -6 = -10. Passo 6Agora substituímos em \det(P) = 2\,M_{11} \;-\; M_{12} \;+\; 3\,M_{13} = 2\cdot(-12) -(-49) + 3\cdot(-10) = -24 +49 -30 = -5. Resposta -5 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosCalcule o determinante das seguintes matrizes. 4. (3 \times 3) O=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 5 & 2 \\\\ 3 & 0 & -4 \\\\ 2 & 1 & 6\end{array}\right] Calcule o determinante das seguintes matrizes. 2. M=\left[\begin{array}{ccc}2 & 3 & 1 \\\\ 0 & 4 & -2 \\\\ 1 & 0 & 3\end{array}\right] Calcule o determinante das seguintes matrizes. 6. Q=\left[\begin{array}{cccc}0 & 2 & 1 & -1 \\\\ 3 & 0 & 4 & 2 \\\\ 1 & 1 & 0 & 3 \\\\ -2 & 5 & 1 & 0\end{array}\right] Calcule o determinante das seguintes matrizes. 7. N=\left[\begin{array}{llll}1 & 2 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 & 2 \\\\ 2 & 0 & 1 & 3 \\\\ 1 & 1 & 2 & 0\end{array}\right]