Calcule o determinante das seguintes matrizes.
5. P=\left[\begin{array}{cccc}2 & 1 & 3 & 0 \\\\ -1 & 0 & 4 & 1 \\\\ 5 & 2 & 1 & -1 \\\\ 3 & 0 & 2 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do determinante da matriz
P = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 0\\\\ -1 & 0 & 4 & 1\\\\ 5 & 2 & 1 & -1\\\\ 3 & 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}
O conteúdo utilizado será a expansão de Laplace (cofator) ao longo da primeira linha, reduzindo o problema ao cálculo de determinantes de matrizes 3\times3.

Passo 2

Pela fórmula da expansão de Laplace na primeira linha, temos
\det(P) \;=\; 2\cdot M_{11}\;-\;1\cdot M_{12}\;+\;3\cdot M_{13}\;-\;0\cdot M_{14},
onde M_{1j} é o determinante da matriz obtida de P ao eliminar a linha 1 e a coluna j. Como o último termo é multiplicado por zero, fica
\det(P) = 2\,M_{11} \;-\; M_{12} \;+\; 3\,M_{13}.

Passo 3

Cálculo de M_{11}: remover linha 1 e coluna 1 de P
\begin{pmatrix} 0 & 4 & 1\\\\ 2 & 1 & -1\\\\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}.
Usando a regra de Sarrus para 3\times3:
M_{11} = \bigl(0\cdot1\cdot2 + 4\cdot(-1)\cdot0 + 1\cdot2\cdot2\bigr) - \bigl(1\cdot1\cdot0 + 0\cdot(-1)\cdot2 + 4\cdot2\cdot2\bigr) = (0 - 0 +4) - (0 - 0 +16) = 4 -16 = -12.

Passo 4

Cálculo de M_{12}: remover linha 1 e coluna 2 de P
\begin{pmatrix} -1 & 4 & 1\\\\ 5 & 1 & -1\\\\ 3 & 2 & 2 \end{pmatrix}.
Pela regra de Sarrus:
M_{12} = \bigl((-1)\cdot1\cdot2 + 4\cdot(-1)\cdot3 + 1\cdot5\cdot2\bigr) - \bigl(1\cdot1\cdot3 + (-1)\cdot(-1)\cdot2 + 4\cdot5\cdot2\bigr) =(-2 -12 +10) - (3 +2 +40) = -4 -45 = -49.

Passo 5

Cálculo de M_{13}: remover linha 1 e coluna 3 de P
\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1\\\\ 5 & 2 & -1\\\\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
Regra de Sarrus:
M_{13} = \bigl((-1)\cdot2\cdot2 + 0\cdot(-1)\cdot3 + 1\cdot5\cdot0\bigr) - \bigl(1\cdot2\cdot3 + (-1)\cdot(-1)\cdot0 + 0\cdot5\cdot2\bigr) =(-4 +0 +0) - (6 +0 +0) = -4 -6 = -10.

Passo 6

Agora substituímos em
\det(P) = 2\,M_{11} \;-\; M_{12} \;+\; 3\,M_{13} = 2\cdot(-12) -(-49) + 3\cdot(-10) = -24 +49 -30 = -5.

Resposta

-5

Exercícios relacionados