Calcule o determinante usando permutações.
a) \left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right)
b) \left(\begin{array}{lll}1 & 4 & 7 \\\\ 2 & 5 & 8 \\\\ 3 & 6 & 9\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante de duas matrizes usando a definição via permutações. O conteúdo aqui é a fórmula
\det A \;=\;\sum_{\sigma\in S_n}\sgn(\sigma)\,\prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)},
onde S_n é o conjunto de todas as permutações de \{1,2,\dots,n\} e \sgn(\sigma) é o sinal da permutação \sigma.

Passo 2

Para a matriz 2\times2,
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 3 & 4\end{pmatrix},
temos n=2 e
S_2=\{\mathrm{id},\;(12)\},\quad \sgn(\mathrm{id})=+1,\;\sgn((12))=-1.
Pela definição,
\det A =\sgn(\mathrm{id})\,a_{1,1}a_{2,2} +\sgn((12))\,a_{1,2}a_{2,1}.

Passo 3

Calculando cada termo:
\sgn(\mathrm{id})\,a_{1,1}a_{2,2} =+1\cdot1\cdot4=4, \quad \sgn((12))\,a_{1,2}a_{2,1} =-1\cdot2\cdot3=-6.
Logo
\det\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 3 & 4\end{pmatrix} =4-6=-2.

Passo 4

Para a matriz 3\times3,
B=\begin{pmatrix}1 & 4 & 7\\\ 2 & 5 & 8\\\ 3 & 6 & 9\end{pmatrix},
temos n=3 e as permutações pares em S_3 são \mathrm{id}, (123) e (132). Seus produtos são
\begin{aligned} \sgn(\mathrm{id})\,a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3} &=+1\cdot1\cdot5\cdot9=45,\\\ \sgn((123))\,a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1} &=+1\cdot4\cdot8\cdot3=96,\\\ \sgn((132))\,a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2} &=+1\cdot7\cdot2\cdot6=84. \end{aligned}

Passo 5

As permutações ímpares em S_3 são (12), (13) e (23). Seus termos são
\begin{aligned} \sgn((12))\,a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3} &=-1\cdot4\cdot2\cdot9=-72,\\\ \sgn((13))\,a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1} &=-1\cdot7\cdot5\cdot3=-105,\\\ \sgn((23))\,a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2} &=-1\cdot1\cdot8\cdot6=-48. \end{aligned}

Passo 6

Somando os pares e subtraindo os ímpares, temos
\det B =(45+96+84)\;-\;(72+105+48) =225-225=0.

Resposta

a) \det\!\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 3 & 4\end{pmatrix}=-2
b) \det\!\begin{pmatrix}1 & 4 & 7\\\ 2 & 5 & 8\\\ 3 & 6 & 9\end{pmatrix}=0

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