[ 1,0 ] O ângulo entre os vetores unitários \vec{x} e \vec{y} é de \pi / 3 radianos. Calcular o ângulo entre \vec{x} e \vec{w}=3 \vec{x}-2 \vec{y}.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores unitários \vec{x} e \vec{y} com ângulo \pi/3 entre eles, e pede o ângulo entre \vec{x} e
\vec{w} = 3\vec{x} - 2\vec{y}.
O conteúdo usado será produto escalar e norma de vetores, com a fórmula
\cos\theta = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}.

Passo 2

Como \vec{x} e \vec{y} são unitários e \angle(\vec{x},\vec{y})=\pi/3, temos
\vec{x}\cdot\vec{y} = \cos\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) = \tfrac12.

Passo 3

Calcular o produto escalar \vec{x}\cdot\vec{w}:
\vec{x}\cdot\vec{w} = \vec{x}\cdot(3\vec{x} - 2\vec{y}) = 3(\vec{x}\cdot\vec{x}) - 2(\vec{x}\cdot\vec{y}) = 3\cdot1 - 2\cdot\tfrac12 = 2.

Passo 4

Calcular a norma de \vec{w}:
\|\vec{w}\| = \sqrt{\vec{w}\cdot\vec{w}} = \sqrt{(3\vec{x}-2\vec{y})\cdot(3\vec{x}-2\vec{y})} = \sqrt{9\|\vec{x}\|^2 +4\|\vec{y}\|^2 -12(\vec{x}\cdot\vec{y})} = \sqrt{9+4-12\cdot\tfrac12} = \sqrt{7}.

Passo 5

Aplicar a fórmula do cosseno ao par \vec{x},\vec{w}:
\cos\varphi = \frac{\vec{x}\cdot\vec{w}}{\|\vec{x}\|\|\vec{w}\|} = \frac{2}{1\cdot\sqrt7} = \frac{2}{\sqrt7},
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\varphi = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\tfrac{2}{\sqrt7}\Bigr).

Resposta

\displaystyle \varphi = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\tfrac{2}{\sqrt7}\Bigr).

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