Indique o valor de x para que as matrizes sejam invertíveis.
a) \left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 5 & 6 \\\\ 7 & 8 & x\end{array}\right) b) \left(\begin{array}{rrr}x & 1 & 1 \\\\ -1 & 1 & x \\\ x & 1 & -1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede os valores de x para que as duas matrizes sejam invertíveis. Lembrando que uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Vamos então calcular o determinante de cada matriz e impor a condição \det\neq0.

Passo 2

Seja
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 4 & 5 & 6\\\\ 7 & 8 & x \end{pmatrix}.
Calculamos
\det(A) =1\cdot\begin{vmatrix}5 & 6\\\ 8 & x\end{vmatrix} -2\cdot\begin{vmatrix}4 & 6\\\ 7 & x\end{vmatrix} +3\cdot\begin{vmatrix}4 & 5\\\ 7 & 8\end{vmatrix}.
Os menores são
\begin{vmatrix}5 & 6\\\ 8 & x\end{vmatrix}=5x-48,\quad \begin{vmatrix}4 & 6\\\ 7 & x\end{vmatrix}=4x-42,\quad \begin{vmatrix}4 & 5\\\ 7 & 8\end{vmatrix}=32-35=-3.
Logo,
\det(A)=(5x-48)-2(4x-42)+3(-3)=5x-48-8x+84-9=27-3x.

Passo 3

Para A ser invertível, é necessário
\det(A)\neq0 \quad\Longrightarrow\quad 27-3x\neq0 \quad\Longrightarrow\quad x\neq9.

Passo 4

Seja
B = \begin{pmatrix} x & 1 & 1\\\\ -1 & 1 & x\\\ x & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira linha:
\det(B) = x\cdot\begin{vmatrix}1 & x\\\ 1 & -1\end{vmatrix} -1\cdot\begin{vmatrix}-1 & x\x & -1\end{vmatrix} +1\cdot\begin{vmatrix}-1 & 1\x & 1\end{vmatrix}.
Calculando os menores:
\begin{vmatrix}1 & x\\\ 1 & -1\end{vmatrix}=-1-x,\quad \begin{vmatrix}-1 & x\x & -1\end{vmatrix}=1-x^2,\quad \begin{vmatrix}-1 & 1\x & 1\end{vmatrix}=-1-x.
Portanto,
\det(B) = x(-1-x)-1(1-x^2)+1(-1-x) =-x-x^2 -1 +x^2 -1 -x =-2(x+1).

Passo 5

Para B ser invertível, exige-se
\det(B)\neq0 \quad\Longrightarrow\quad -2(x+1)\neq0 \quad\Longrightarrow\quad x\neq -1.

Resposta

a) x\neq9
b) x\neq -1

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