Um pesquisador médico está estudando a disseminação de um vírus em uma população de 1.000 ratos de laboratório.
Ao longo de uma semana, há uma probabilidade de 80 \% de que um rato infectado vença o vírus.
Ademais, durante a mesma semana, há uma probabilidade de 10 \% de que um rato não infectado fique infectado.
Atualmente, trezentos ratos estão infectados com o vírus.
(a) Quantos estarão infectados na próxima semana
(b) Quantos estarão infectados em 3 semanas?
Passo 1
O enunciado envolve uma população de 1000 ratos, dos quais 300 estão atualmente infectados. A cada semana um rato infectado se recupera (passa para não infectado) com probabilidade 0{,}8 e permanece infectado com probabilidade 0{,}2; um rato não infectado fica infectado com probabilidade 0{,}1 e permanece não infectado com probabilidade 0{,}9. Vamos modelar isso como uma cadeia de Markov com dois estados (infectado e não infectado), usar a matriz de transição e repetir a relação de atualização para calcular o número esperado de infectados nas semanas seguintes.
Passo 2
Denotando por (I_n,N_n) o número de ratos infectados e não infectados na semana n, a matriz de transição é
P = \begin{pmatrix} 0{,}2 & 0{,}8\\\\ 0{,}1 & 0{,}9 \end{pmatrix},
onde a linha 1 corresponde a ratos infectados (probabilidade de ir para infectado e não infectado) e a linha 2 a ratos não infectados. O vetor de estado evolui segundo