Um pesquisador médico está estudando a disseminação de um vírus em uma população de 1.000 ratos de laboratório.
Ao longo de uma semana, há uma probabilidade de 80 \% de que um rato infectado vença o vírus.
Ademais, durante a mesma semana, há uma probabilidade de 10 \% de que um rato não infectado fique infectado.
Atualmente, trezentos ratos estão infectados com o vírus.
(a) Quantos estarão infectados na próxima semana
(b) Quantos estarão infectados em 3 semanas?

Passo 1

O enunciado envolve uma população de 1000 ratos, dos quais 300 estão atualmente infectados. A cada semana um rato infectado se recupera (passa para não infectado) com probabilidade 0{,}8 e permanece infectado com probabilidade 0{,}2; um rato não infectado fica infectado com probabilidade 0{,}1 e permanece não infectado com probabilidade 0{,}9. Vamos modelar isso como uma cadeia de Markov com dois estados (infectado e não infectado), usar a matriz de transição e repetir a relação de atualização para calcular o número esperado de infectados nas semanas seguintes.

Passo 2

Denotando por (I_n,N_n) o número de ratos infectados e não infectados na semana n, a matriz de transição é
P = \begin{pmatrix} 0{,}2 & 0{,}8\\\\ 0{,}1 & 0{,}9 \end{pmatrix},
onde a linha 1 corresponde a ratos infectados (probabilidade de ir para infectado e não infectado) e a linha 2 a ratos não infectados. O vetor de estado evolui segundo
(I_{n+1},N_{n+1}) = (I_n,N_n)\,P,
o que em termos de números de infectados fica
I_{n+1} = 0{,}2\,I_n + 0{,}1\,N_n = 0{,}2\,I_n + 0{,}1\,(1000 - I_n).

Passo 3

Para a próxima semana ( n=0 sendo a atual) temos I_0=300 e N_0=700. Logo
I_1 = 0{,}2\cdot300 + 0{,}1\cdot700 = 60 + 70 = 130.

Passo 4

Para encontrar I_3 (infectados em 3 semanas), aplicamos a mesma fórmula de forma iterativa:
I_{n+1} = 0{,}2\,I_n + 0{,}1\,(1000 - I_n).

Passo 5

Calculamos sucessivamente:
Para n=1:
I_2 = 0{,}2\cdot130 + 0{,}1\cdot(1000-130) = 26 + 87 = 113.
Para n=2:
I_3 = 0{,}2\cdot113 + 0{,}1\cdot(1000-113) = 22{,}6 + 88{,}7 = 111{,}3.

Resposta

(a) 130
(b) 111{,}3

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