Calcule os determinantes abaixo:
\left|\begin{array}{cc}10 \angle-30^{\circ} & -4 \angle-10^{\circ} \\\\ 16 \angle 0^{\circ} & 3 \angle 45^{\circ}\end{array}\right|

Passo 1

O que o problema pede e os dados que temos.
  • Pede-se o determinante da matriz 2\times2 cujos elementos estão em forma polar: \left|\begin{array}{cc} 10 \angle -30^\circ & -4 \angle -10^\circ \\\\ 16 \angle 0^\circ & 3 \angle 45^\circ \end{array}\right|
  • Vou chamar os elementos de a=10\angle -30^\circ,\quad b=-4\angle -10^\circ,\quad c=16\angle 0^\circ,\quad d=3\angle 45^\circ.
  • Fórmula básica para determinante 2\times2: \det = ad - bc.

Passo 2

Calcular os produtos ad e bc usando a regra de multiplicação em forma polar.
  • Regra: ao multiplicar \,r_1\angle\theta_1\cdot r_2\angle\theta_2=\,(r_1 r_2)\angle(\theta_1+\theta_2).
  • Então ad = (10\angle -30^\circ)\cdot(3\angle 45^\circ) = 30\angle(-30^\circ+45^\circ)=30\angle 15^\circ.
  • Agora bc: bc = (-4\angle -10^\circ)\cdot(16\angle 0^\circ) = (-64)\angle(-10^\circ).Observe que o fator -64 pode ser expresso na forma polar com magnitude positiva e ângulo somado de 180^\circ: -64\angle(-10^\circ) = 64\angle(-10^\circ+180^\circ)=64\angle 170^\circ.
  • Portanto, usando \det = ad - bc, \det = 30\angle 15^\circ - \big((-64)\angle(-10^\circ)\big) = 30\angle 15^\circ + 64\angle 170^\circ.(ou seja, somamos os dois vetores complexos 30\angle15^\circ e 64\angle170^\circ.)

Passo 3

Para somar números em forma polar é mais simples passar para a forma retangular (parte real + j parte imaginária).
  • Regra de conversão polar→retangular: r\angle\theta = r(\cos\theta + j\sin\theta).
  • Converter 30\angle 15^\circ: 30\angle 15^\circ = 30\big(\cos 15^\circ + j\sin 15^\circ\big).Usando valores conhecidos (exatos para 15^\circ com radicais, mas aqui usei aproximações numéricas suficientes para o resultado): \cos 15^\circ \approx 0{,}9659258,\qquad \sin 15^\circ \approx 0{,}2588190.Logo 30\angle 15^\circ \approx 30\cdot 0{,}9659258 + j\,30\cdot 0{,}2588190 \approx 28{,}9778 + j\,7{,}7646.
  • Converter 64\angle 170^\circ: 64\angle 170^\circ = 64(\cos 170^\circ + j\sin 170^\circ).Usando \cos 170^\circ = -\cos 10^\circ e \sin 170^\circ = \sin 10^\circ com aproximações \cos 10^\circ \approx 0{,}9848078,\qquad \sin 10^\circ \approx 0{,}1736482,obtemos 64\angle 170^\circ \approx 64\cdot(-0{,}9848078) + j\,64\cdot 0{,}1736482 \approx -63{,}0277 + j\,11{,}1135.

Passo 4

Somar as partes reais e imaginárias e obter o número complexo resultante.
  • Soma das partes reais: \Re(\det)\approx 28{,}9778 + (-63{,}0277) \approx -34{,}0499.
  • Soma das partes imaginárias: \Im(\det)\approx 7{,}7646 + 11{,}1135 \approx 18{,}8781.
  • Logo, na forma retangular: \det \approx -34{,}0499 + j\,18{,}8781.

Passo 5

Converter para forma polar (magnitude e ângulo), explicando como lidar com o quadrante.
  • Magnitude: |\det|=\sqrt{(\Re(\det))^2+(\Im(\det))^2} \approx \sqrt{(-34{,}0499)^2+(18{,}8781)^2}\approx 39{,}0.
  • Ângulo (usar função arco-tangente atenta ao sinal das componentes, i.e. atan2): \theta=\operatorname{atan2}\big(\Im(\det),\Re(\det)\big) \approx \operatorname{atan2}(18{,}8781,-34{,}0499)\approx 151{,}0^\circ.Observação: a parte real é negativa e a imaginária positiva, portanto o ângulo está no segundo quadrante (próximo de 151^\circ).
  • Assim a forma polar aproximada é \det \approx 39{,}0\angle 151{,}0^\circ.

Resposta

-34,05 + j\,18,88
39,0\angle 151,0^\circ

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