Pede-se o determinante da matriz 2\times2 cujos elementos estão em forma polar:\left|\begin{array}{cc} 10 \angle -30^\circ & -4 \angle -10^\circ \\\\ 16 \angle 0^\circ & 3 \angle 45^\circ \end{array}\right|
Vou chamar os elementos dea=10\angle -30^\circ,\quad b=-4\angle -10^\circ,\quad c=16\angle 0^\circ,\quad d=3\angle 45^\circ.
Fórmula básica para determinante 2\times2:\det = ad - bc.
Passo 2
Calcular os produtos ad e bc usando a regra de multiplicação em forma polar.
Regra: ao multiplicar \,r_1\angle\theta_1\cdot r_2\angle\theta_2=\,(r_1 r_2)\angle(\theta_1+\theta_2).
Agora bc:bc = (-4\angle -10^\circ)\cdot(16\angle 0^\circ) = (-64)\angle(-10^\circ).Observe que o fator -64 pode ser expresso na forma polar com magnitude positiva e ângulo somado de 180^\circ:-64\angle(-10^\circ) = 64\angle(-10^\circ+180^\circ)=64\angle 170^\circ.
Portanto, usando \det = ad - bc,\det = 30\angle 15^\circ - \big((-64)\angle(-10^\circ)\big) = 30\angle 15^\circ + 64\angle 170^\circ.(ou seja, somamos os dois vetores complexos 30\angle15^\circ e 64\angle170^\circ.)
Passo 3
Para somar números em forma polar é mais simples passar para a forma retangular (parte real + j parte imaginária).
Regra de conversão polar→retangular:r\angle\theta = r(\cos\theta + j\sin\theta).
Converter 30\angle 15^\circ:30\angle 15^\circ = 30\big(\cos 15^\circ + j\sin 15^\circ\big).Usando valores conhecidos (exatos para 15^\circ com radicais, mas aqui usei aproximações numéricas suficientes para o resultado):\cos 15^\circ \approx 0{,}9659258,\qquad \sin 15^\circ \approx 0{,}2588190.Logo30\angle 15^\circ \approx 30\cdot 0{,}9659258 + j\,30\cdot 0{,}2588190 \approx 28{,}9778 + j\,7{,}7646.
Ângulo (usar função arco-tangente atenta ao sinal das componentes, i.e. atan2):\theta=\operatorname{atan2}\big(\Im(\det),\Re(\det)\big) \approx \operatorname{atan2}(18{,}8781,-34{,}0499)\approx 151{,}0^\circ.Observação: a parte real é negativa e a imaginária positiva, portanto o ângulo está no segundo quadrante (próximo de 151^\circ).
Assim a forma polar aproximada é\det \approx 39{,}0\angle 151{,}0^\circ.