Para os pares de senoides a seguir, determine o ângulo de fase adiantado
v(t)=4 \cos \left(377 t+10^{\circ}\right) e i(t)= -20 \operatorname{sen}(377 t)

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • São dadas as duas senoides:
    • v(t)=4\cos\bigl(377\,t+10^{\circ}\bigr).
    • i(t)=-20\operatorname{sen}\bigl(377\,t\bigr).
  • O que se pede: determinar o ângulo de fase adiantado — isto é, descobrir qual das duas grandezas está “adiantada” (lead) em fase e por quantos graus em relação à outra.

Passo 2

Conceito básico e estratégia (passo-a-passo didático).
  • Para comparar fases é conveniente colocar ambas as funções no mesmo tipo de senoide (ou ambas em cosseno). Uma forma prática é passar tudo para cossenos e então comparar os ângulos de fase.
  • Lembrete de identidade trigonométrica útil: a relação entre seno e cosseno é
\operatorname{sen}(\theta)=\cos\bigl(\theta-90^{\circ}\bigr).
Isso significa que qualquer senoide pode ser escrita como um cosseno deslocado de -90^{\circ}. Vou usar essa identidade para reescrever i(t) como cosseno.

Passo 3

Reescrever i(t) em termos de cosseno, cuidando do sinal negativo.
  • Começo com \operatorname{sen}(\theta)=\cos(\theta-90^{\circ}). Então
-\operatorname{sen}(\theta) = -\cos(\theta-90^{\circ}).
  • Agora uso a identidade -\cos(\alpha)=\cos(\alpha+180^{\circ}). Aplicando:
-\cos(\theta-90^{\circ})=\cos\bigl(\theta-90^{\circ}+180^{\circ}\bigr)=\cos(\theta+90^{\circ}).
  • Concluo, para qualquer \theta,
-\operatorname{sen}(\theta)=\cos(\theta+90^{\circ}).

Passo 4

Aplicar a transformação ao termo específico de i(t).
  • No nosso caso \theta=377\,t. Portanto
i(t)=-20\operatorname{sen}(377\,t)=20\cos\bigl(377\,t+90^{\circ}\bigr).
  • Agora ambas as senoides estão em forma de cosseno:
    • v(t)=4\cos\bigl(377\,t+10^{\circ}\bigr).
    • i(t)=20\cos\bigl(377\,t+90^{\circ}\bigr).

Passo 5

Representação fasorial (ideia e aplicação).
  • Para comparar fases usamos a representação fasorial: uma senoide A\cos(\omega t+\varphi) é associada ao fasor A\angle\varphi, onde A é a amplitude e \varphi é o ângulo de fase.
  • Assim:
    • O fasor de v(t) é V=4\angle 10^{\circ}.
    • O fasor de i(t) é I=20\angle 90^{\circ}.

Passo 6

Calcular a diferença de fase.
  • A diferença de fase (ângulo de adiantamento) entre corrente e tensão é
\Delta\varphi=\phi_{I}-\phi_{V}.
  • Substituindo:
\Delta\varphi=90^{\circ}-10^{\circ}=80^{\circ}.

Passo 7

Interpretação física do sinal da diferença.
  • Como \Delta\varphi é positivo ( +80^{\circ}), isso significa que i(t) tem fase maior que v(t); por convenção, a grandeza com ângulo de fase maior está adiantada (leads) em relação à outra.
  • Portanto: i(t) está adiantada em relação a v(t) por 80^{\circ}.
  • Alternativamente, pode-se dizer que v(t) atrasa (lags) i(t) em 80^{\circ}.

Resposta

i(t) está adiantada de 80^{\circ} em relação a v(t).

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