Use o método de substituição para resolver as seguintes integrais
\int \frac{e^{1 / x}+2}{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{e^{1/x}+2}{x^{2}}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \dfrac{e^{1/x}+2}{x^{2}}.
  • Quer-se uma primitiva (integral indefinida), portanto o resultado deve conter uma constante de integração C.

Passo 2

Ideia do método de substituição (mini-aula rápida e prática). Se tivermos uma composição f(g(x)) e aparecer também g'(x) multiplicando, podemos simplificar fazendo a troca u=g(x). Formalmente:
\text{se }u=g(x)\text{ então }du=g'(x)\,dx,ã
e assim
\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du.
Aqui a estratégia é escolher u de modo que a diferencial du reproduza (até sinal ou constante) um fator presente em dx. Isso torna a integral mais simples.

Passo 3

Escolha da substituição para este problema. Observando o integrando \dfrac{e^{1/x}+2}{x^{2}}, vemos a presença de 1/x dentro do exponencial e de um fator 1/x^{2} multiplicando. Isso sugere escolher
u=\frac{1}{x}.
Calculamos du a partir de u. Derivando u em relação a x:
du = \frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{x}\right)\,dx = -\frac{1}{x^{2}}\,dx.
Reescrevendo esta igualdade para isolar o pedaço que aparece na integral:
-\!du = \frac{1}{x^{2}}\,dx.
Esse é o ponto chave: \dfrac{1}{x^{2}}\,dx no integrando pode ser substituído por -du.

Passo 4

Fazer a substituição na integral. Substituindo u=\dfrac{1}{x} e \dfrac{1}{x^{2}}\,dx=-du obtemos
\int \frac{e^{1/x}+2}{x^{2}}\,dx = \int \bigl(e^{u}+2\bigr)\,(-du).
Colocando o sinal negativo para fora,
\int \frac{e^{1/x}+2}{x^{2}}\,dx = -\int \bigl(e^{u}+2\bigr)\,du.

Passo 5

Integrar em u. A integral é a soma de duas integrais simples:
-\int \bigl(e^{u}+2\bigr)\,du = -\int e^{u}\,du - 2\int 1\,du.
Lembrete rápido:
  • \displaystyle \int e^{u}\,du = e^{u} porque a derivada de e^{u} é e^{u}.
  • \displaystyle \int 1\,du = u.
    Assim
-\int \bigl(e^{u}+2\bigr)\,du = -e^{u} - 2u + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltar para a variável original x. Substituindo u=\dfrac{1}{x} de volta,
-e^{u} - 2u + C = -e^{1/x} - 2\cdot\frac{1}{x} + C.
Podemos escrever de forma compacta:
-e^{1/x} - \frac{2}{x} + C.

Passo 7

Checagem rápida (derivada da primitiva encontrada). Para verificar, derivamos
F(x) = -e^{1/x} - \frac{2}{x}.
Usando a regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}e^{1/x}=e^{1/x}\cdot\dfrac{d}{dx}(1/x)=e^{1/x}\cdot(-1/x^{2}). Então
F'(x) = -\bigl(e^{1/x}\cdot(-\tfrac{1}{x^{2}})\bigr) -\bigl(-2\cdot\tfrac{1}{x^{2}}\bigr) = \frac{e^{1/x}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}} = \frac{e^{1/x}+2}{x^{2}},
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

-e^{1/x}-\dfrac{2}{x}+C

Exercícios relacionados