Use o método de substituição para resolver as seguintes integrais
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Quer-se uma primitiva (integral indefinida), portanto o resultado deve conter uma constante de integração
.
Passo 2
Ideia do método de substituição (mini-aula rápida e prática). Se tivermos uma composição
e aparecer também
multiplicando, podemos simplificar fazendo a troca
. Formalmente:
e assim
Aqui a estratégia é escolher
de modo que a diferencial
reproduza (até sinal ou constante) um fator presente em
. Isso torna a integral mais simples.
Passo 3
Escolha da substituição para este problema. Observando o integrando
, vemos a presença de
dentro do exponencial e de um fator
multiplicando. Isso sugere escolher
Calculamos
a partir de
. Derivando
em relação a
:
Reescrevendo esta igualdade para isolar o pedaço que aparece na integral:
Esse é o ponto chave:
no integrando pode ser substituído por
.
Passo 4
Fazer a substituição na integral. Substituindo
e
obtemos
Colocando o sinal negativo para fora,
Passo 5
Integrar em
. A integral é a soma de duas integrais simples:
Lembrete rápido:
-
porque a derivada de é . -
.
Assim
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltar para a variável original
. Substituindo
de volta,
Podemos escrever de forma compacta:
Passo 7
Checagem rápida (derivada da primitiva encontrada). Para verificar, derivamos
Usando a regra da cadeia:
. Então
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.