(2^{a}) Questão: [20 pontos] Resolva os itens (a) e (b) abaixo para a EDO
(a) [10 pontos] Encontre a solução geral da EDO.
(b) [10 pontos] Resolva a EDO com as condições iniciais
.
(b) [10 pontos] Resolva a EDO com as condições iniciais
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
São pedidas duas coisas:
(a) encontrar a solução geral da EDO;
(b) encontrar a solução que satisfaz as condições iniciais .
(a) encontrar a solução geral da EDO;
(b) encontrar a solução que satisfaz as condições iniciais
As informações relevantes que temos são exatamente a EDO e as condições iniciais do item (b). A partir daqui vamos resolver primeiro a parte homogênea e só depois aplicar as condições iniciais.
Passo 2
Ideia do método (curtinha e didática): para EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes, uma boa aposta inicial são soluções da forma
onde
é um número a determinar. Isso porque derivadas de
só multiplicam por
, então ao substituir a forma
na EDO obtemos uma equação algébrica para
. Essa equação algébrica chama-se equação característica.
Vou aplicar isso à nossa EDO: supondo
, temos
e
. Substituindo em
obtemos a equação característica (tirando o fator comum
, que nunca é zero):
Passo 3
Resolver a equação característica
.
Calcule o discriminante:
Como
, a equação tem uma raiz dupla. A raiz é
Ou seja,
com multiplicidade
.
Explicação didática sobre raiz dupla: quando a equação característica tem raiz simples
e
distintos, as soluções independentes são
e
. Quando há uma raiz dupla
(multiplicidade
), as duas soluções independentes são
Portanto, para raiz dupla
a solução geral da EDO é uma combinação linear dessas duas soluções.
Passo 4
Escrever a solução geral usando constantes arbitrárias
e
:
Isto responde o item (a). Aqui
e
são constantes reais que serão determinadas por condições iniciais se houver.
Passo 5
Agora resolvo o item (b): aplicar as condições iniciais
e
para determinar
e
.
Primeiro escrevo
novamente:
Calcule
passo a passo usando a regra do produto. Se
e
, então
e
. Assim
Fatorando
fica mais limpo:
Passo 6
Aplicar a condição
. Substituindo
em
dá
Portanto
Passo 7
Aplicar a condição
. Substituindo
em
dá
Como
e já sabemos
, obtemos
Passo 8
Escrever a solução particular com as constantes encontradas. Substituindo
e
em
temos
Isso é a solução da EDO que satisfaz
e
.
Resposta
(a)
(b)