(2^{a}) Questão: [20 pontos] Resolva os itens (a) e (b) abaixo para a EDO
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=0
(a) [10 pontos] Encontre a solução geral da EDO.
(b) [10 pontos] Resolva a EDO com as condições iniciais y(0)=3, y^{\prime}(0)=7.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y^{\prime\prime}-6y^{\prime}+9y=0.
São pedidas duas coisas:
(a) encontrar a solução geral da EDO;
(b) encontrar a solução que satisfaz as condições iniciais \;y(0)=3,\;y^{\prime}(0)=7.
As informações relevantes que temos são exatamente a EDO e as condições iniciais do item (b). A partir daqui vamos resolver primeiro a parte homogênea e só depois aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Ideia do método (curtinha e didática): para EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes, uma boa aposta inicial são soluções da forma
y=e^{rx},
onde r é um número a determinar. Isso porque derivadas de e^{rx} só multiplicam por r, então ao substituir a forma e^{rx} na EDO obtemos uma equação algébrica para r. Essa equação algébrica chama-se equação característica.
Vou aplicar isso à nossa EDO: supondo y=e^{rx}, temos \;y'=r e^{rx} e \;y''=r^{2}e^{rx}. Substituindo em
y^{\prime\prime}-6y^{\prime}+9y=0
obtemos a equação característica (tirando o fator comum e^{rx}, que nunca é zero):
r^{2}-6r+9=0.

Passo 3

Resolver a equação característica \;r^{2}-6r+9=0.
Calcule o discriminante:
\Delta = (-6)^{2}-4\cdot1\cdot9 = 36-36 = 0.
Como \Delta=0, a equação tem uma raiz dupla. A raiz é
r=\frac{6}{2}=3.
Ou seja, r=3 com multiplicidade 2.
Explicação didática sobre raiz dupla: quando a equação característica tem raiz simples r_1 e r_2 distintos, as soluções independentes são e^{r_1 x} e e^{r_2 x}. Quando há uma raiz dupla r (multiplicidade 2), as duas soluções independentes são
e^{rx}\quad\text{e}\quad x e^{rx}.
Portanto, para raiz dupla r=3 a solução geral da EDO é uma combinação linear dessas duas soluções.

Passo 4

Escrever a solução geral usando constantes arbitrárias C_{1} e C_{2}:
y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{3x}.
Isto responde o item (a). Aqui C_{1} e C_{2} são constantes reais que serão determinadas por condições iniciais se houver.

Passo 5

Agora resolvo o item (b): aplicar as condições iniciais \;y(0)=3 e \;y^{\prime}(0)=7 para determinar C_{1} e C_{2}.
Primeiro escrevo y(x) novamente:
y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{3x}.
Calcule y'(x) passo a passo usando a regra do produto. Se u(x)=C_{1}+C_{2}x e v(x)=e^{3x}, então u'(x)=C_{2} e v'(x)=3e^{3x}. Assim
y'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=C_{2}e^{3x}+(C_{1}+C_{2}x)\,3e^{3x}.
Fatorando e^{3x} fica mais limpo:
y'(x)=\bigl(C_{2}+3C_{1}+3C_{2}x\bigr)e^{3x}.

Passo 6

Aplicar a condição y(0)=3. Substituindo x=0 em y(x)
y(0)=(C_{1}+C_{2}\cdot 0)e^{0}=C_{1}\cdot 1=C_{1}.
Portanto
C_{1}=3.

Passo 7

Aplicar a condição y^{\prime}(0)=7. Substituindo x=0 em y'(x)
y^{\prime}(0)=\bigl(C_{2}+3C_{1}+3C_{2}\cdot 0\bigr)e^{0}=C_{2}+3C_{1}.
Como y^{\prime}(0)=7 e já sabemos C_{1}=3, obtemos
C_{2}+3\cdot 3 = 7 \quad\Rightarrow\quad C_{2}+9=7 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=-2.

Passo 8

Escrever a solução particular com as constantes encontradas. Substituindo C_{1}=3 e C_{2}=-2 em
y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{3x}
temos
y(x)=(3-2x)e^{3x}.
Isso é a solução da EDO que satisfaz y(0)=3 e y'(0)=7.

Resposta

(a) y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{3x}.
(b) y(x)=(3-2x)e^{3x}.

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