Calcule os determinantes de A, B, C, D. As colunas delas são independentes?
A=[lll 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 ] B=[lll 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 ] C=[cc A & 0 0 & A ] D=[cc A & 0 0 & B ]

Passo 1

O enunciado pede os determinantes das matrizes
A= 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 , B= 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 ,
e das matrizes em bloco diagonais
C=A&00&A, D=A&00&B
Para resolver precisamos usar
  1. Regra de Laplace (ou Sarrus) para det(A) e det(B).
  2. Propriedade de blocos diagonais: detl(diag(M,N)r)=det(M),det(N).
  3. Colunas são independentes se, e só se, o determinante for diferente de zero.

Passo 2

Vamos calcular det(A) por expansão na primeira linha.
det(A) =1cdotdet0&11&1 -1cdotdet1&10&1 +0cdotdet1&00&1
Agora os menores:
det0&11&1=0cdot1-1cdot1=-1, det1&10&1=1cdot1-1cdot0=1
Então
det(A)=1cdot(-1)-1cdot1+0 = -1-1 = -2

Passo 3

Para det(B) usamos a regra de Sarrus:
det(B) =1cdot5cdot9+2cdot6cdot7+3cdot4cdot8 -l(3cdot5cdot7+1cdot6cdot8+2cdot4cdot9r)
Calculando cada parcela:
1cdot5cdot9=45, 2cdot6cdot7=84, 3cdot4cdot8=96,
3cdot5cdot7=105, 1cdot6cdot8=48, 2cdot4cdot9=72,
logo
det(B)=(45+84+96)-(105+48+72)=225-225=0

Passo 4

C é bloco diagonal com dois A, então
det(C)=det(A),det(A)=(-2)cdot(-2)=4

Passo 5

D é bloco diagonal com A e B, logo
det(D)=det(A),det(B)=(-2)cdot0=0

Passo 6

As colunas são independentes exatamente quando o determinante é não nulo.

Resposta

det(A)=-2, colunas de A independentes.
det(B)=0, colunas de B dependentes.
det(C)=4, colunas de C independentes.
det(D)=0, colunas de D dependentes.

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