(2 pt) Considere a matriz de rotação no plano:
R(theta)=[cc cos theta & -sin theta sin theta & cos theta ]
(a) Para quais valores de theta a matriz R(theta) possui autovalores (reais)? Justifique.
(b) Para esses valores, determine os autovalores e os autovetores correspondentes. Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores reais da matriz de rotação
R(theta)=costheta&-sinthetasintheta&costheta
e, para esses theta, os autovetores correspondentes. Vamos usar o polinômio característico de R(theta), impor a condição de discriminante não-negativo para obter raízes reais e depois resolver l(R(theta)-lambda Ir)v=0.

Passo 2

O polinômio característico de R(theta) é
detl(R(theta)-lambda Ir) =detcostheta-lambda&-sinthetasintheta&costheta-lambda =(costheta-lambda)^2+sin^2theta =lambda^2-2lambdacostheta+1

Passo 3

Para que os autovalores sejam reais, o discriminante deve satisfazer
De<a=( -2costheta)^2-4cdot1cdot1 =4cos^2theta-4 =-4sin^2theta>=0
Logo sin^2theta=0, i.e.\ sintheta=0, o que ocorre exatamente em
theta=kpi, kinZ

Passo 4

Substituindo theta=kpi, temos cos(kpi)=(-1)^k e sin(kpi)=0. O polinômio fica
lambda^2-2(-1)^klambda+1=0
com discriminante 4(-1)^2k-4=0, logo há raiz dupla
lambda1=lambda2=(-1)^k

Passo 5

Para theta=kpi a matriz é R(kpi)=(-1)^kI. Em particular
R(kpi)-lambda I=(-1)^kI-(-1)^kI=0,
então a equação l(R(kpi)-lambda Ir)v=0 é satisfeita por qualquer vetor não-nulo vinR^2. Assim todo vetor não-nulo é autovetor.

Resposta

(a) theta=kpi, kinZ.\n
(b) Para theta=kpi o único autovalor (dupla) é lambda=(-1)^k, e qualquer vetor não-nulo de R^2 é autovetor.

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