(2 pt) Considere a matriz de rotação no plano:
(a) Para quais valores de
a matriz
possui autovalores (reais)? Justifique.
(b) Para esses valores, determine os autovalores e os autovetores correspondentes. Justifique.
(b) Para esses valores, determine os autovalores e os autovetores correspondentes. Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os autovalores reais da matriz de rotação
e, para esses
, os autovetores correspondentes. Vamos usar o polinômio característico de
, impor a condição de discriminante não-negativo para obter raízes reais e depois resolver
.
Passo 2
O polinômio característico de
é
Passo 3
Para que os autovalores sejam reais, o discriminante deve satisfazer
Logo
, i.e.\
, o que ocorre exatamente em
Passo 4
Substituindo
, temos
e
. O polinômio fica
com discriminante
, logo há raiz dupla
Passo 5
Para
a matriz é
. Em particular
então a equação
é satisfeita por qualquer vetor não-nulo
. Assim todo vetor não-nulo é autovetor.
Resposta
(a)
,
.\n
(b) Para o único autovalor (dupla) é
, e qualquer vetor não-nulo de
é autovetor.
(b) Para