O que precisa ser entregue são os valores de \det(A),\det(B),\det\text{(C)},\det(D),\det(E),\det(F).]
Passo 2
Relembrando ferramentas que vou usar (rápido resumo didático das regras de operação de linhas e método):
Adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha NÃO altera o determinante.
Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
Multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k.
Assim, é útil triangularizar (transformar a matriz em forma triangular superior) por operações do tipo “somar múltiplos de uma linha a outra” e depois o determinante é o produto dos elementos da diagonal (quando triangular) — sem mudanças no determinante pelas somas. Outra opção é usar expansão de Laplace quando aparece uma coluna ou linha com muitos zeros.
Vou aplicar essas ideias em cada item, explicando passo a passo as operações e por que elas não alteram o determinante (ou como alteram, quando for o caso).
Agora começo a calcular (a), com explicações didáticas de cada operação.
Vou eliminar as entradas da primeira coluna abaixo da primeira linha usando a operação “linha_i <- linha_i - k * linha_1” (isso NÃO altera o determinante).
Escolhi trocar R_1 com R_3 para ter pivot 1 na primeira linha (trocar linhas muda o determinante por um fator -1). Após a troca (uma única troca), o determinante da nova matriz é -\det(B). A matriz fica:
Lembrete: a matriz atual é a que teve uma troca, então \det(\text{matriz trocada})=-\det(B).
Calculo do 3\times3:
Usando a fórmula direto:
Primeiro termo: 3[(-5)(-5)-(-4)(-9)]=3[25-36]=3(-11)=-33.
Segundo termo: -(-11)[3(-5)-(-4)4]=11[ -15 -(-16) ] =11[1]=11\cdot1? — melhor refazer com a fórmula padrão para evitar erro. Faço direto com a fórmula:
Para evitar frações escolhi trocar R_1 com R_2. Trocar linhas muda o sinal do determinante (\det multiplica por -1) — eu vou controlar isso durante a conta. Após a troca (uma troca), a matriz passa a ser
Agora posso expandir pela primeira coluna: o determinante da matriz após troca é (-1) vezes o determinante da submatriz 3\times3 formada pelas colunas 2–4 e linhas 2–4. Mas lembre que há uma troca inicial: se eu chamar \Delta o determinante original, então após a troca a nova matriz tem determinante -\Delta. A expressão pelo desenvolvimento dá:
Logo \Delta = \det dessa 3\times3. Observe que os dois sinais (-1) (um do elemento na posição (1,1) e outro da troca) se anulam, deixando \Delta igual ao determinante da 3\times3.
Vou zerar a primeira coluna abaixo de a_{11}=1 com operações R_i\leftarrow R_i - R_1 ou R_i\leftarrow R_i - 2R_1; essas operações não alteram \det.
R_2\leftarrow R_2 - R_1 = [0,3,-5,1].
R_3\leftarrow R_3 - 2R_1 = [0,4-6? \text{calcule com atenção}]çã. Faço passo a passo:R_3=[2,0,4,-5]-2[1,-2,3,-1]=[0,0-(-4)=0+4=4,4-6=-2,-5 -(-2)=-3],então R_3=[0,4,-2,-3]. (Observação: na primeira versão do raciocínio eu havia colocado [0,0,-2,-3], mas agora corrigi o segundo componente; preciso verificar original: realmente R_3 original era [2,0,4,-5], 2R_1=[2,-4,6,-2], subtraindo: [0,4,-2,-3].)
Primeiro termo: 3\big((-2)(-5)-(-3)\cdot1\big)=3(10+3)=3\cdot13=39.
Segundo termo: -(-5)\big(4(-5)-(-3)\cdot6\big)=5\big(-20+18\big)=5(-2)=-10. (atenção aos sinais: termo com a_{12} entra com sinal negativo na fórmula, mas eu já considerei isso escrevendo -(-5)\ldots.)
Somando: 39 -10 +16 =45. Entretanto percebi discrepância com cálculo anterior; preciso revisar porque no passo anterior eu obtive 141 para (e). Isso indica que houve inconsitência: devo revisar cuidadosamente.
Volto e refaço as suboperações para (e) com atenção total:
4(-5)-(-3)(6)=-20+18=-2. Multiplicando por -(-5)=+5 dá 5\cdot(-2)=-10.
4\cdot1 - (-2)\cdot6 =4+12=16. Multiplica por 1 dá 16.
Somando: 39 + (-10) + 16 = 45.
Portanto o determinante correto do 3\times3 é 45, e assim \det(E)=45.
(Observação: Na primeira tentativa tinha resultado 141 que veio de cálculo com subdeterminantes diferentes — aquele cálculo continha um erro de sinal ou transposição de números. A verificação cuidadosa mostra que o valor correto é 45.)
Agora o determinante de F é igual a 1 (elemento a_{11}) vezes o determinante da submatriz 4\times4 formada pelas colunas 2–5 e linhas 2–5. Chamo essa submatriz de B:
Vou agora eliminar a primeira coluna de B abaixo de sua primeira linha usando operações com frações (aceitáveis) ou combinar linhas. Procedo com R_3\leftarrow R_3 - R_1 (essa subtração não altera o determinante) para obter um zero imediato:
R_2' = R_2 - R_1 = [0,0,1,-5] (onde agora reindexo as linhas de B: linha 1 é [-5,3,-8,1] etc.)
Na prática, as transformações realizadas foram:
R_2 \leftarrow R_2 - R_1 (da submatriz), o que dá [0,0,1,-5].
Para zerar a primeira coluna em R_3 e R_4 posso usar combinações com razão \tfrac{9}{5} e -\tfrac{7}{5}. Faço:
R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{9}{5}R_1 produz zeros na primeira coluna e resulta em valores fracionários, especificamente R_3=[0,\tfrac{8}{5},-\tfrac{18}{5},-\tfrac{14}{5}].
Para facilitar, fatorizei \tfrac{1}{5} das duas últimas linhas do 3\times3 (cada fator \tfrac{1}{5} tira um fator \tfrac{1}{5} do determinante), portanto