Calcule os determinantes.
(a) \left|\begin{array}{cccc}1 & 2 & 2 & 3 \\\\ 1 & 0 & -2 & 0 \\\\ 3 & -1 & 1 & -2 \\\\ 4 & -3 & 0 & 2\end{array}\right|
(b) \left|\begin{array}{cccc}2 & 1 & 3 & 2 \\\\ 3 & 0 & 1 & -2 \\\\ 1 & -1 & 4 & 3 \\\\ 2 & 2 & -1 & 1\end{array}\right|
(c) \left|\begin{array}{cccc}2 & -1 & 3 & -4 \\\\ 2 & 1 & -2 & 1 \\\\ 3 & 3 & -5 & 4 \\\\ 5 & 2 & -1 & 4\end{array}\right|
(d) \left|\begin{array}{cccc}2 & -1 & 4 & -3 \\\\ -1 & 1 & 0 & 2 \\\\ 3 & 2 & 3 & -1 \\\\ 1 & -2 & 2 & -3\end{array}\right|
(e) \left|\begin{array}{cccc}1 & -2 & 3 & -1 \\\\ 1 & 1 & -2 & 0 \\\\ 2 & 0 & 4 & -5 \\\\ 1 & 4 & 4 & -6\end{array}\right|
(f) \left|\begin{array}{ccccc}1 & 2 & -1 & 3 & 1 \\\\ 2 & -1 & 1 & -2 & 3 \\\\ 3 & 1 & 0 & 2 & -1 \\\\ 5 & 1 & 2 & -3 & 4 \\\\ -2 & 3 & -1 & 1 & -2\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede calcular os determinantes de seis matrizes. Vou listar claramente cada matriz (estes são os dados do problema):
(a) A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 3\\[4pt] 1 & 0 & -2 & 0\\[4pt] 3 & -1 & 1 & -2\\[4pt] 4 & -3 & 0 & 2 \end{pmatrix}
(b) B=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 2\\[4pt] 3 & 0 & 1 & -2\\[4pt] 1 & -1 & 4 & 3\\[4pt] 2 & 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}
(c) C=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & -4\\[4pt] 2 & 1 & -2 & 1\\[4pt] 3 & 3 & -5 & 4\\[4pt] 5 & 2 & -1 & 4 \end{pmatrix}
(d) D=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 & -3\\[4pt] -1 & 1 & 0 & 2\\[4pt] 3 & 2 & 3 & -1\\[4pt] 1 & -2 & 2 & -3 \end{pmatrix}
(e) E=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -1\\[4pt] 1 & 1 & -2 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 4 & -5\\[4pt] 1 & 4 & 4 & -6 \end{pmatrix}
(f) F=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 & 1\\[4pt] 2 & -1 & 1 & -2 & 3\\[4pt] 3 & 1 & 0 & 2 & -1\\[4pt] 5 & 1 & 2 & -3 & 4\\[4pt] -2 & 3 & -1 & 1 & -2 \end{pmatrix}
O que precisa ser entregue são os valores de \det(A),\det(B),\det\text{(C)},\det(D),\det(E),\det(F).]

Passo 2

Relembrando ferramentas que vou usar (rápido resumo didático das regras de operação de linhas e método):
  • Adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha NÃO altera o determinante.
  • Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
  • Multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k.
  • Assim, é útil triangularizar (transformar a matriz em forma triangular superior) por operações do tipo “somar múltiplos de uma linha a outra” e depois o determinante é o produto dos elementos da diagonal (quando triangular) — sem mudanças no determinante pelas somas. Outra opção é usar expansão de Laplace quando aparece uma coluna ou linha com muitos zeros.
    Vou aplicar essas ideias em cada item, explicando passo a passo as operações e por que elas não alteram o determinante (ou como alteram, quando for o caso).
Agora começo a calcular (a), com explicações didáticas de cada operação.

Passo 3

Matriz (a):
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 3\\[4pt] 1 & 0 & -2 & 0\\[4pt] 3 & -1 & 1 & -2\\[4pt] 4 & -3 & 0 & 2 \end{pmatrix}
Vou eliminar as entradas da primeira coluna abaixo da primeira linha usando a operação “linha_i <- linha_i - k * linha_1” (isso NÃO altera o determinante).
  • R_2 \leftarrow R_2 - R_1: R_2=[1,0,-2,0]-[1,2,2,3]=[0,-2,-4,-3].
  • R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1: R_3=[3,-1,1,-2]-3[1,2,2,3]=[0,-7,-5,-11].
  • R_4 \leftarrow R_4 - 4R_1: R_4=[4,-3,0,2]-4[1,2,2,3]=[0,-11,-8,-10].
A matriz transformada (sem alteração do determinante) é
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 3\\[4pt] 0 & -2 & -4 & -3\\[4pt] 0 & -7 & -5 & -11\\[4pt] 0 & -11 & -8 & -10 \end{pmatrix}.
Agora posso expandir pelo primeiro elemento a_{11}=1 (expansão pela primeira coluna). Como só a_{11} é não nulo na primeira coluna, tem-se
\det(A)=1\cdot \det\begin{pmatrix} -2 & -4 & -3\\[4pt] -7 & -5 & -11\\[4pt] -11 & -8 & -10 \end{pmatrix}.
Calculo o determinante 3\times3 usando a fórmula
\det(M)=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}).
Aqui a_{11}=-2, a_{12}=-4, a_{13}=-3, e os outros elementos conforme a matriz.
  • a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}=(-5)(-10)-(-11)(-8)=50-88=-38.
  • Termo 1: (-2)\cdot(-38)=76.
  • a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}=(-7)(-10)-(-11)(-11)=70-121=-51.
  • Termo 2: -(-4)\cdot(-51)=4\cdot(-51)=-204.
  • a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}=(-7)(-8)-(-5)(-11)=56-55=1.
  • Termo 3: (-3)\cdot 1=-3.
Somando: 76-204-3=-131.
Portanto
\boxed{\det(A)=-131}.]

Passo 4

Matriz (b):
B=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 2\\[4pt] 3 & 0 & 1 & -2\\[4pt] 1 & -1 & 4 & 3\\[4pt] 2 & 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}
Escolhi trocar R_1 com R_3 para ter pivot 1 na primeira linha (trocar linhas muda o determinante por um fator -1). Após a troca (uma única troca), o determinante da nova matriz é -\det(B). A matriz fica:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 & 3\\[4pt] 3 & 0 & 1 & -2\\[4pt] 2 & 1 & 3 & 2\\[4pt] 2 & 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Agora elimino as entradas da coluna 1 abaixo de a_{11}=1 com operações que não alteram o determinante:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1 = [0,3,-11,-11].
  • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1 = [0,3,-5,-4].
  • R_4 \leftarrow R_4 - 2R_1 = [0,4,-9,-5].
Ficamos com
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 & 3\\[4pt] 0 & 3 & -11 & -11\\[4pt] 0 & 3 & -5 & -4\\[4pt] 0 & 4 & -9 & -5 \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira coluna (apenas a_{11}=1 contribui):
\det(\text{matriz trocada})=1\cdot \det\begin{pmatrix} 3 & -11 & -11\\[4pt] 3 & -5 & -4\\[4pt] 4 & -9 & -5 \end{pmatrix}.
Lembrete: a matriz atual é a que teve uma troca, então \det(\text{matriz trocada})=-\det(B).
Calculo do 3\times3:
Usando a fórmula direto:
  • Primeiro termo: 3[(-5)(-5)-(-4)(-9)]=3[25-36]=3(-11)=-33.
  • Segundo termo: -(-11)[3(-5)-(-4)4]=11[ -15 -(-16) ] =11[1]=11\cdot1? — melhor refazer com a fórmula padrão para evitar erro. Faço direto com a fórmula:
\det_3 = 3\cdot((-5)(-5)-(-4)(-9)) - (-11)\cdot(3(-5)-(-4)\cdot4) + (-11)\cdot(3(-9)-(-5)\cdot4).
Calcule cada parte:
  • (-5)(-5)-(-4)(-9)=25-36=-11 então 3\cdot(-11)=-33.
  • 3(-5)-(-4)\cdot4=-15 -(-16)=1 então -(-11)\cdot1 = 11.
  • 3(-9)-(-5)\cdot4=-27 -(-20)=-7 então (-11)\cdot(-7)=77.
Somando: -33 + 11 + 77 = 55. Logo \det(\text{matriz trocada})=55.
Como essa matriz é a que surgiu após a troca de linhas, temos -\det(B)=55, logo
\boxed{\det(B)=-55}.]

Passo 5

Matriz (c):
C=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & -4\\[4pt] 2 & 1 & -2 & 1\\[4pt] 3 & 3 & -5 & 4\\[4pt] 5 & 2 & -1 & 4 \end{pmatrix}
Vou usar eliminação para zerar a primeira coluna abaixo de a_{11}=2. Operações do tipo R_i\leftarrow R_i - k R_1 não alteram o determinante.
  • R_2\leftarrow R_2 - R_1 = [0,2,-5,5].
  • R_3\leftarrow R_3 - \tfrac{3}{2}R_1 = [0,\tfrac{9}{2},-\tfrac{19}{2},10] (aqui apareceu fração; tudo bem).
  • R_4\leftarrow R_4 - \tfrac{5}{2}R_1 = [0,\tfrac{9}{2},-\tfrac{17}{2},14].
A matriz fica
\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & -4\\[4pt] 0 & 2 & -5 & 5\\[4pt] 0 & \tfrac{9}{2} & -\tfrac{19}{2} & 10\\[4pt] 0 & \tfrac{9}{2} & -\tfrac{17}{2} & 14 \end{pmatrix}.
Agora expandindo pela primeira coluna (apenas a_{11}=2 contribui):
\det\text{(C)}=2\cdot \det\begin{pmatrix} 2 & -5 & 5\\[4pt] \tfrac{9}{2} & -\tfrac{19}{2} & 10\\[4pt] \tfrac{9}{2} & -\tfrac{17}{2} & 14 \end{pmatrix}.
Calculo do 3\times3 com frações (faço as contas com cuidado):
Use a fórmula padrão:
  • Primeiro termo: 2\big((-{\tfrac{19}{2}})\cdot 14 - 10\cdot(-{\tfrac{17}{2}})\big).
    • (-\tfrac{19}{2})\cdot 14 = -19\cdot7 = -133.
    • 10\cdot(-\tfrac{17}{2}) = -85.
    • Subtração: -133 - (-85) = -48.
    • Multiplicando: 2\cdot(-48) = -96.
  • Segundo termo: -(-5) vezes det da submatriz correspondente:
    • Subdeterminante \begin{vmatrix}\tfrac{9}{2} & 10\\[4pt]\tfrac{9}{2} & 14\end{vmatrix} = \tfrac{9}{2}(14-10)=\tfrac{9}{2}\cdot4=18.
    • Então o termo é +5\cdot 18 = 90.
  • Terceiro termo: +5 vezes subdeterminante
    • Subdeterminante \begin{vmatrix}\tfrac{9}{2} & -\tfrac{19}{2}\\[4pt]\tfrac{9}{2} & -\tfrac{17}{2}\end{vmatrix} = \tfrac{9}{2}\big(-\tfrac{17}{2} + \tfrac{19}{2}\big)=\tfrac{9}{2}\cdot \tfrac{2}{2} = \tfrac{9}{2}.
    • Multiplicando: 5\cdot \tfrac{9}{2}=\tfrac{45}{2}.
Somando estes três contribuições: -96+90+\tfrac{45}{2} = -6 + \tfrac{45}{2} = \tfrac{33}{2}.
Então \det\text{(C)}=2\cdot \tfrac{33}{2}=33.
Portanto
\boxed{\det\text{(C)}=33}.]

Passo 6

Matriz (d):
D=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 & -3\\[4pt] -1 & 1 & 0 & 2\\[4pt] 3 & 2 & 3 & -1\\[4pt] 1 & -2 & 2 & -3 \end{pmatrix}
Para evitar frações escolhi trocar R_1 com R_2. Trocar linhas muda o sinal do determinante ( \det multiplica por -1) — eu vou controlar isso durante a conta. Após a troca (uma troca), a matriz passa a ser
\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 & 2\\[4pt] 2 & -1 & 4 & -3\\[4pt] 3 & 2 & 3 & -1\\[4pt] 1 & -2 & 2 & -3 \end{pmatrix}.
Agora uso R_1 como pivot e faço combinações R_i\leftarrow R_i + kR_1 para zerar a coluna 1 abaixo:
  • R_2\leftarrow R_2 + 2R_1 = [0,1,4,1].
  • R_3\leftarrow R_3 + 3R_1 = [0,5,3,5].
  • R_4\leftarrow R_4 + 1R_1 = [0,-1,2,-1].
A matriz fica
\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 4 & 1\\[4pt] 0 & 5 & 3 & 5\\[4pt] 0 & -1 & 2 & -1 \end{pmatrix}.
Agora posso expandir pela primeira coluna: o determinante da matriz após troca é (-1) vezes o determinante da submatriz 3\times3 formada pelas colunas 2–4 e linhas 2–4. Mas lembre que há uma troca inicial: se eu chamar \Delta o determinante original, então após a troca a nova matriz tem determinante -\Delta. A expressão pelo desenvolvimento dá:
-\Delta = (-1)\cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 4 & 1\\[4pt] 5 & 3 & 5\\[4pt] -1 & 2 & -1 \end{pmatrix}.
Logo \Delta = \det dessa 3\times3. Observe que os dois sinais (-1) (um do elemento na posição (1,1) e outro da troca) se anulam, deixando \Delta igual ao determinante da 3\times3.
Calculo do 3\times3 (chamo-o M):
M=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 1\\[4pt] 5 & 3 & 5\\[4pt] -1 & 2 & -1 \end{pmatrix}.
Uso fórmula:
  • 1\cdot(3\cdot(-1)-5\cdot2)=1(-3-10)=-13.
  • -4\cdot(5\cdot(-1)-5\cdot(-1))=-4(-5+5)= -4\cdot 0 =0.
  • +1\cdot(5\cdot2-3\cdot(-1))=1(10+3)=13.
Somando: -13+0+13=0. Logo \det(M)=0 e assim \det(D)=0.
Portanto
\boxed{\det(D)=0}.]

Passo 7

Matriz (e):
E=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -1\\[4pt] 1 & 1 & -2 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 4 & -5\\[4pt] 1 & 4 & 4 & -6 \end{pmatrix}
Vou zerar a primeira coluna abaixo de a_{11}=1 com operações R_i\leftarrow R_i - R_1 ou R_i\leftarrow R_i - 2R_1; essas operações não alteram \det.
  • R_2\leftarrow R_2 - R_1 = [0,3,-5,1].
  • R_3\leftarrow R_3 - 2R_1 = [0,4-6? \text{calcule com atenção}]çã. Faço passo a passo: R_3=[2,0,4,-5]-2[1,-2,3,-1]=[0,0-(-4)=0+4=4,4-6=-2,-5 -(-2)=-3],então R_3=[0,4,-2,-3]. (Observação: na primeira versão do raciocínio eu havia colocado [0,0,-2,-3], mas agora corrigi o segundo componente; preciso verificar original: realmente R_3 original era [2,0,4,-5], 2R_1=[2,-4,6,-2], subtraindo: [0,4,-2,-3].)
  • R_4\leftarrow R_4 - R_1 = [0,6,1,-5].
Agora a matriz transformada é
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -1\\[4pt] 0 & 3 & -5 & 1\\[4pt] 0 & 4 & -2 & -3\\[4pt] 0 & 6 & 1 & -5 \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira coluna (apenas a_{11}=1 contribui):
\det(E)=1\cdot \det\begin{pmatrix} 3 & -5 & 1\\[4pt] 4 & -2 & -3\\[4pt] 6 & 1 & -5 \end{pmatrix}.
Calculo do 3\times3:
Uso a fórmula direta:
  • Primeiro termo: 3\big((-2)(-5)-(-3)\cdot1\big)=3(10+3)=3\cdot13=39.
  • Segundo termo: -(-5)\big(4(-5)-(-3)\cdot6\big)=5\big(-20+18\big)=5(-2)=-10. (atenção aos sinais: termo com a_{12} entra com sinal negativo na fórmula, mas eu já considerei isso escrevendo -(-5)\ldots.)
  • Terceiro termo: +1\big(4\cdot1-(-2)\cdot6\big)=1(4+12)=16.
Somando: 39 -10 +16 =45. Entretanto percebi discrepância com cálculo anterior; preciso revisar porque no passo anterior eu obtive 141 para (e). Isso indica que houve inconsitência: devo revisar cuidadosamente.
Volto e refaço as suboperações para (e) com atenção total:
Recomeço (e):
Original:
E=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -1\\\\ 1 & 1 & -2 & 0\\\\ 2 & 0 & 4 & -5\\\\ 1 & 4 & 4 & -6 \end{pmatrix}.
Operações:
  • R_2 \leftarrow R_2 - R_1: [1,1,-2,0] - [1,-2,3,-1] = [0,3,-5,1]. OK.
  • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1: [2,0,4,-5] - 2[1,-2,3,-1] = [2,0,4,-5] - [2,-4,6,-2] = [0,4,-2,-3]. OK.
  • R_4 \leftarrow R_4 - R_1: [1,4,4,-6]-[1,-2,3,-1] = [0,6,1,-5]. OK.
Então submatriz 3\times3 é
M=\begin{pmatrix} 3 & -5 & 1\\[4pt] 4 & -2 & -3\\[4pt] 6 & 1 & -5 \end{pmatrix}.
Agora faço o determinante com calma usando a fórmula:
\det(M)=3\cdot\big((-2)(-5)-(-3)(1)\big) - (-5)\cdot\big(4(-5)-(-3)(6)\big) + 1\cdot\big(4\cdot1 - (-2)\cdot6\big).
Calculo peça a peça:
  • (-2)(-5)-(-3)(1)=10+3=13 então 3\cdot13=39.
  • 4(-5)-(-3)(6)=-20+18=-2. Multiplicando por -(-5)=+5 5\cdot(-2)=-10.
  • 4\cdot1 - (-2)\cdot6 =4+12=16. Multiplica por 1 16.
Somando: 39 + (-10) + 16 = 45.
Portanto o determinante correto do 3\times3 é 45, e assim \det(E)=45.
(Observação: Na primeira tentativa tinha resultado 141 que veio de cálculo com subdeterminantes diferentes — aquele cálculo continha um erro de sinal ou transposição de números. A verificação cuidadosa mostra que o valor correto é 45.)
Portanto
\boxed{\det(E)=45}.]

Passo 8

Matriz (f):
F=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 & 1\\[4pt] 2 & -1 & 1 & -2 & 3\\[4pt] 3 & 1 & 0 & 2 & -1\\[4pt] 5 & 1 & 2 & -3 & 4\\[4pt] -2 & 3 & -1 & 1 & -2 \end{pmatrix}
Vou zerar a primeira coluna abaixo de a_{11}=1 com operações R_i\leftarrow R_i - kR_1, que não alteram o determinante.
  • R_2\leftarrow R_2 - 2R_1 = [0,-5,3,-8,1].
  • R_3\leftarrow R_3 - 3R_1 = [0,-5,3,-7,-4].
  • R_4\leftarrow R_4 - 5R_1 = [0,-9,7,-18,-1].
  • R_5\leftarrow R_5 + 2R_1 = [0,7,-3,7,0].
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 & 1\\[4pt] 0 & -5 & 3 & -8 & 1\\[4pt] 0 & -5 & 3 & -7 & -4\\[4pt] 0 & -9 & 7 & -18 & -1\\[4pt] 0 & 7 & -3 & 7 & 0 \end{pmatrix}.
Agora o determinante de F é igual a 1 (elemento a_{11}) vezes o determinante da submatriz 4\times4 formada pelas colunas 2–5 e linhas 2–5. Chamo essa submatriz de B:
B=\begin{pmatrix} -5 & 3 & -8 & 1\\[4pt] -5 & 3 & -7 & -4\\[4pt] -9 & 7 & -18 & -1\\[4pt] 7 & -3 & 7 & 0 \end{pmatrix}.
Vou agora eliminar a primeira coluna de B abaixo de sua primeira linha usando operações com frações (aceitáveis) ou combinar linhas. Procedo com R_3\leftarrow R_3 - R_1 (essa subtração não altera o determinante) para obter um zero imediato:
  • R_2' = R_2 - R_1 = [0,0,1,-5] (onde agora reindexo as linhas de B: linha 1 é [-5,3,-8,1] etc.)
    Na prática, as transformações realizadas foram:
  • R_2 \leftarrow R_2 - R_1 (da submatriz), o que dá [0,0,1,-5].
Para zerar a primeira coluna em R_3 e R_4 posso usar combinações com razão \tfrac{9}{5} e -\tfrac{7}{5}. Faço:
  • R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{9}{5}R_1 produz zeros na primeira coluna e resulta em valores fracionários, especificamente R_3=[0,\tfrac{8}{5},-\tfrac{18}{5},-\tfrac{14}{5}].
  • R_4 \leftarrow R_4 + \tfrac{7}{5}R_1 produz R_4=[0,\tfrac{6}{5},-\tfrac{21}{5},\tfrac{7}{5}].
Agora B tem a forma (com a primeira coluna: -5,0,0,0):
\begin{pmatrix} -5 & 3 & -8 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -5\\[4pt] 0 & \tfrac{8}{5} & -\tfrac{18}{5} & -\tfrac{14}{5}\\[4pt] 0 & \tfrac{6}{5} & -\tfrac{21}{5} & \tfrac{7}{5} \end{pmatrix}.
Expandindo por essa primeira coluna (apenas o primeiro elemento contribui):
\det(B) = (-5)\cdot \det\begin{pmatrix} 0 & 1 & -5\\[4pt] \tfrac{8}{5} & -\tfrac{18}{5} & -\tfrac{14}{5}\\[4pt] \tfrac{6}{5} & -\tfrac{21}{5} & \tfrac{7}{5} \end{pmatrix}.
Para facilitar, fatorizei \tfrac{1}{5} das duas últimas linhas do 3\times3 (cada fator \tfrac{1}{5} tira um fator \tfrac{1}{5} do determinante), portanto
\det\begin{pmatrix} 0 & 1 & -5\\[4pt] \tfrac{8}{5} & -\tfrac{18}{5} & -\tfrac{14}{5}\\[4pt] \tfrac{6}{5} & -\tfrac{21}{5} & \tfrac{7}{5} \end{pmatrix} = \frac{1}{25}\det\begin{pmatrix} 0 & 1 & -5\\[4pt] 8 & -18 & -14\\[4pt] 6 & -21 & 7 \end{pmatrix}.
Assim
\det(B)=(-5)\cdot \frac{1}{25}\cdot \det\begin{pmatrix} 0 & 1 & -5\\[4pt] 8 & -18 & -14\\[4pt] 6 & -21 & 7 \end{pmatrix} = -\frac{1}{5}\det(D),
onde D é a matriz inteira acima.
Calculo \det(D) por expansão pela primeira linha (o elemento 0 simplifica):
\det(D) = -1\cdot\det\begin{pmatrix}8 & -14\\[4pt]6 & 7\end{pmatrix} + (-5)\cdot\det\begin{pmatrix}8 & -18\\[4pt]6 & -21\end{pmatrix}.
Agora:
  • \det\begin{pmatrix}8 & -14\\\ 6 & 7\end{pmatrix}=8\cdot7 - (-14)\cdot6=56+84=140. O primeiro termo é -1\cdot 140=-140.
  • \det\begin{pmatrix}8 & -18\\\ 6 & -21\end{pmatrix}=8(-21)-(-18)\cdot6=-168+108=-60. O segundo termo é (-5)\cdot(-60)=300.
Somando: -140+300=160. Logo \det(D)=160.
Portanto \det(B)=-\tfrac{1}{5}\cdot160 = -32.
Como \det(F)=1\cdot\det(B) (o primeiro elemento a_{11}=1), concluímos que
\boxed{\det(F)=-32}.]

Resposta

(a) -131
(b) -55
(c) 33
(d) 0
(e) 45
(f) -32

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