Determine quais das afirmações abaixo são verdadeiras e quais são falsas ((cada item vale 1,0, sendo 0,2 para assinalar corretamente V ou F e 0,8 pela justificativa)
( ) \left(\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 1\end{array}\right) é ortogonal a \operatorname{Ger}\left(\left(\begin{array}{c}1 \\\\ 0 \\\\ -1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-2 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right)\right).
( ) 2 é autovalor de A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 1 & 1 \\\\ 0 & 2 & -1 \\\\ 0 & -1 & 1\end{array}\right).
( ) O ângulo entre x=\left(\begin{array}{c}1 \\\\ 1 \\\\ -2\end{array}\right) e y=\left(\begin{array}{c}-2 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right) é menor do que \frac{\pi}{2}.
( ) Se uma matriz A \in M_{2 \times 2} possui 1 e -1 como autovalores, então A^{24}=I e A^{25}=A.

Passo 1

O enunciado pede que se determine se cada uma das quatro afirmações é verdadeira (V) ou falsa (F), justificando. As quatro afirmações são:
  1. \left(\begin{array}{c}1\\[2pt]2\\[2pt]1\end{array}\right) é ortogonal a \operatorname{Ger}\!\left(\left(\begin{array}{c}1\\[2pt]0\\[2pt]-1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-2\\[2pt]1\\[2pt]0\end{array}\right)\right).
  2. 2 é autovalor da matriz \displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 1 & 1\\[2pt]0 & 2 & -1\\[2pt]0 & -1 & 1\end{array}\right).
  3. O ângulo entre x=\left(\begin{array}{c}1\\[2pt]1\\[2pt]-2\end{array}\right) e y=\left(\begin{array}{c}-2\\[2pt]1\\[2pt]1\end{array}\right) é menor do que \dfrac{\pi}{2}.
  4. Se A\in M_{2\times 2} possui autovalores 1 e -1, então A^{24}=I e A^{25}=A.
Dados relevantes (retomando explicitamente): os vetores e a matriz acima. A tarefa: determinar V ou F para cada item e justificar.]

Passo 2

Item 1 — ideia e definição (aula rápida e intuitiva).
  • Dois vetores u,v\in\mathbb{R}^3 são ortogonais se o produto escalar u\cdot v=0.
  • Uma condição prática: um vetor w é ortogonal ao subespaço gerado por vetores v_1,v_2 se e somente se w é ortogonal a cada gerador v_1 e v_2 (isto porque a ortogonalidade é linear).
    Agora aplicamos: tome
w=\left(\begin{array}{c}1\\[2pt]2\\[2pt]1\end{array}\right),\quad v_1=\left(\begin{array}{c}1\\[2pt]0\\[2pt]-1\end{array}\right),\quad v_2=\left(\begin{array}{c}-2\\[2pt]1\\[2pt]0\end{array}\right).
Calculemos os produtos escalares (faço passo a passo para evitar erro):
w\cdot v_1 = 1\cdot 1 + 2\cdot 0 + 1\cdot(-1) = 1 + 0 -1 = 0.
w\cdot v_2 = 1\cdot(-2) + 2\cdot 1 + 1\cdot 0 = -2 + 2 + 0 = 0.
Como w é ortogonal a v_1 e a v_2, então é ortogonal a todo \operatorname{Ger}(v_1,v_2). Conclusão: a afirmação é verdadeira.]

Passo 3

Item 2 — definição de autovalor e método.
  • Lembre: \lambda é autovalor de A se existe vetor não-nulo v tal que Av=\lambda v. Equivalentemente, \det(A-\lambda I)=0.
    Queremos testar \lambda=2. Calcule A-2I:
A-2I= \begin{pmatrix} 3-2 & 1 & 1\\[2pt] 0 & 2-2 & -1\\[2pt] 0 & -1 & 1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[2pt] 0 & 0 & -1\\[2pt] 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}.
Dois caminhos: (a) calcular \det(A-2I) ou (b) resolver (A-2I)v=0. Faço os dois de maneira simples para ficar cristalino.
Cálculo do determinante (aproveitando zeros na primeira coluna):
\det(A-2I) = 1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & -1\\[2pt]-1 & -1\end{pmatrix} = 1\cdot(0\cdot(-1) - (-1)\cdot(-1)) = 1\cdot(0-1) = -1.
Como \det(A-2I)=-1\neq 0, a matriz A-2I é invertível, logo o núcleo é \{0\} e não existe vetor não-nulo v com Av=2v. Portanto 2 não é autovalor de A. Conclusão: a afirmação é falsa.]

Passo 4

Item 3 — ângulo entre vetores (fórmula e interpretação).
  • Fórmula fundamental: o cosseno do ângulo \theta entre x e y é
\cos\theta=\dfrac{x\cdot y}{\|x\|\,\|y\|},
onde \|x\|=\sqrt{x\cdot x} é a norma (comprimento) de x.
Calculemos passo a passo:
x\cdot y = 1\cdot(-2) + 1\cdot 1 + (-2)\cdot 1 = -2 + 1 -2 = -3.
Normas:
\|x\|=\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}, \qquad \|y\|=\sqrt{(-2)^2+1^2+1^2}=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}.
Logo
\cos\theta = \dfrac{-3}{\sqrt{6}\,\sqrt{6}}=\dfrac{-3}{6}=-\tfrac{1}{2}.
Se \cos\theta=-\tfrac{1}{2}, então \theta=\operatorname{arccos}(-\tfrac{1}{2})=\tfrac{2\pi}{3}, que é maior do que \tfrac{\pi}{2} (pois \tfrac{2\pi}{3}\approx 120^\circ). Interpretando de forma simples: cosseno negativo significa ângulo obtuso (> \tfrac{\pi}{2}). Portanto a afirmação "o ângulo é menor que \tfrac{\pi}{2}" é falsa.

Passo 5

Item 4 — propriedades de autovalores e potências (explicação prática).
  • Se A\in M_{2\times 2} tem autovalores 1 e -1, então o polinômio característico de A é
p(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda+1)=\lambda^2-1.
Pelo teorema de Cayley–Hamilton, toda matriz satisfaz seu polinômio característico, ou seja,
p(A)=A^2-I=0 \quad\Rightarrow\quad A^2=I.
Nota didática: não é preciso assumir diagonalizabilidade; Cayley–Hamilton vale para qualquer matriz quadrada e já dá A^2=I.
A partir de A^2=I deduzimos facilmente as potências:
A^{24}=(A^2)^{12}=I^{12}=I, \qquad A^{25}=A^{24}A=I\cdot A=A.
Portanto a afirmação é verdadeira.

Passo 6

Resumo das conclusões com uma linha curta por item (pronto para marcar no caderno):
  • Item 1: verdadeiro.
  • Item 2: falso.
  • Item 3: falso.
  • Item 4: verdadeiro.
Força aí — já era metade do caminho: cada passo foi mostrado de forma direta para você repetir na prova sem mistério.

Resposta

  1. V
  2. F
  3. F
  4. V

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