Calcule os determinantes.
(a) \left|\begin{array}{ll}2 & 6 \\\\ 4 & 1\end{array}\right|
(b) \left|\begin{array}{cc}5 & 1 \\\\ 3 & -2\end{array}\right|
(c) \left|\begin{array}{cc}-2 & 8 \\\\ -5 & -3\end{array}\right|
(d) \left|\begin{array}{cc}4 & 9 \\\\ 1 & -3\end{array}\right|
(e) \left|\begin{array}{ccc}2 & 1 & 1 \\\\ 0 & 5 & -2 \\\\ 1 & -3 & 4\end{array}\right|
(f) \left|\begin{array}{ccc}3 & -2 & -4 \\\\ 2 & 5 & -1 \\\\ 0 & 6 & 1\end{array}\right|
(g) \left|\begin{array}{ccc}-2 & -1 & 4 \\\\ 6 & -3 & -2 \\\\ 4 & 1 & 2\end{array}\right|
(h) \left|\begin{array}{ccc}7 & 6 & 5 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 3 & -2 & 1\end{array}\right|

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular os determinantes das matrizes indicadas, ou seja obter um único número para cada item (a) a (h).
As matrizes dadas são (copiadas do enunciado):
  • (a) \displaystyle \begin{pmatrix}2 & 6\\[4pt]4 & 1\end{pmatrix}
  • (b) \displaystyle \begin{pmatrix}5 & 1\\[4pt]3 & -2\end{pmatrix}
  • (c) \displaystyle \begin{pmatrix}-2 & 8\\[4pt]-5 & -3\end{pmatrix}
  • (d) \displaystyle \begin{pmatrix}4 & 9\\[4pt]1 & -3\end{pmatrix}
  • (e) \displaystyle \begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\[4pt]0 & 5 & -2\\[4pt]1 & -3 & 4\end{pmatrix}
  • (f) \displaystyle \begin{pmatrix}3 & -2 & -4\\[4pt]2 & 5 & -1\\[4pt]0 & 6 & 1\end{pmatrix}
  • (g) \displaystyle \begin{pmatrix}-2 & -1 & 4\\[4pt]6 & -3 & -2\\[4pt]4 & 1 & 2\end{pmatrix}
  • (h) \displaystyle \begin{pmatrix}7 & 6 & 5\\[4pt]1 & 2 & 1\\[4pt]3 & -2 & 1\end{pmatrix}
Agora vamos calcular passo a passo. Vou primeiro lembrar a regra para determinante de 2\times2 e depois a regra prática para 3\times3 (regra de Sarrus), e aplicar cada uma às matrizes correspondentes.]

Passo 2

Regra para determinante de matriz 2\times2.
Se \displaystyle A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix}, então o determinante de A é dado por
\det(A)=ad-bc.
Explicando: multiplica-se a entrada da diagonal principal a por d e subtrai-se o produto das entradas da outra diagonal b por c. Cada símbolo significa: a,b,c,d são os quatro elementos da matriz, na ordem indicada.
Vou aplicar essa fórmula diretamente nos itens (a)–(d).]

Passo 3

Cálculo de (a).
A matriz é \displaystyle \begin{pmatrix}2 & 6\\[4pt]4 & 1\end{pmatrix}. Usando \det=\;ad-bc com a=2, b=6, c=4, d=1,
\det = 2\cdot 1 - 6\cdot 4.
Calculando:
2\cdot 1 = 2,\qquad 6\cdot 4 = 24,
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\det = 2 - 24 = -22.]

Passo 4

Cálculo de (b).
A matriz é \displaystyle \begin{pmatrix}5 & 1\\[4pt]3 & -2\end{pmatrix}. Com a=5, b=1, c=3, d=-2,
\det = 5\cdot(-2) - 1\cdot 3.
Calculando:
5\cdot(-2) = -10,\qquad 1\cdot 3 = 3,
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\det = -10 - 3 = -13.]

Passo 5

Cálculo de (c).
A matriz é \displaystyle \begin{pmatrix}-2 & 8\\[4pt]-5 & -3\end{pmatrix}. Com a=-2, b=8, c=-5, d=-3,
\det = (-2)\cdot(-3) - 8\cdot(-5).
Calculando:
(-2)\cdot(-3)=6,\qquad 8\cdot(-5)=-40,
então
\det = 6 - (-40) = 6 + 40 = 46.]

Passo 6

Cálculo de (d).
A matriz é \displaystyle \begin{pmatrix}4 & 9\\[4pt]1 & -3\end{pmatrix}. Com a=4, b=9, c=1, d=-3,
\det = 4\cdot(-3) - 9\cdot 1.
Calculando:
4\cdot(-3)=-12,\qquad 9\cdot 1=9,
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\det = -12 - 9 = -21.]

Passo 7

Regra para determinante de matriz 3\times3 (regra de Sarrus) — explicação didática.
Se
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix},
então, pela regra de Sarrus,
\det(A)= \bigl(a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}\bigr) - \bigl(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}\bigr).
Interpretação simples: soma-se o produto das três diagonais que “descem para a direita” e subtrai-se a soma dos produtos das três diagonais que “sobem para a direita”. Cada termo é o produto de três entradas, uma de cada linha e coluna diferentes. Vou aplicar isso diretamente em (e)–(h).]

Passo 8

Cálculo de (e).
A matriz é \displaystyle \begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\[4pt]0 & 5 & -2\\[4pt]1 & -3 & 4\end{pmatrix}.
Aplicando Sarrus:
\begin{aligned} \text{soma direita} &= a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}\\\ &= 2\cdot 5\cdot 4 + 1\cdot(-2)\cdot 1 + 1\cdot 0\cdot(-3)\\\ &= 40 - 2 + 0 = 38, \end{aligned}
\begin{aligned} \text{soma esquerda} &= a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}\\\ &= 1\cdot 5\cdot 1 + 2\cdot(-2)\cdot(-3) + 1\cdot 0\cdot 4\\\ &= 5 + 12 + 0 = 17. \end{aligned}
Portanto
\det = 38 - 17 = 21.]

Passo 9

Cálculo de (f).
A matriz é \displaystyle \begin{pmatrix}3 & -2 & -4\\[4pt]2 & 5 & -1\\[4pt]0 & 6 & 1\end{pmatrix}.
Aplicando Sarrus:
\begin{aligned} \text{soma direita} &= 3\cdot 5\cdot 1 + (-2)\cdot(-1)\cdot 0 + (-4)\cdot 2\cdot 6\\\ &= 15 + 0 + (-48) = -33, \end{aligned}
\begin{aligned} \text{soma esquerda} &= (-4)\cdot 5\cdot 0 + 3\cdot(-1)\cdot 6 + (-2)\cdot 2\cdot 1\\\ &= 0 + (-18) + (-4) = -22. \end{aligned}
Portanto
\det = -33 - (-22) = -11.]

Passo 10

Cálculo de (g).
A matriz é \displaystyle \begin{pmatrix}-2 & -1 & 4\\[4pt]6 & -3 & -2\\[4pt]4 & 1 & 2\end{pmatrix}.
Aplicando Sarrus:
\begin{aligned} \text{soma direita} &= (-2)\cdot(-3)\cdot 2 + (-1)\cdot(-2)\cdot 4 + 4\cdot 6\cdot 1\\\ &= 12 + 8 + 24 = 44, \end{aligned}
\begin{aligned} \text{soma esquerda} &= 4\cdot(-3)\cdot 4 + (-2)\cdot(-2)\cdot 1 + (-1)\cdot 6\cdot 2\\\ &= -48 + 4 -12 = -56. \end{aligned}
Portanto
\det = 44 - (-56) = 100.]

Passo 11

Cálculo de (h).
A matriz é \displaystyle \begin{pmatrix}7 & 6 & 5\\[4pt]1 & 2 & 1\\[4pt]3 & -2 & 1\end{pmatrix}.
Aplicando Sarrus:
\begin{aligned} \text{soma direita} &= 7\cdot 2\cdot 1 + 6\cdot 1\cdot 3 + 5\cdot 1\cdot(-2)\\\ &= 14 + 18 -10 = 22, \end{aligned}
\begin{aligned} \text{soma esquerda} &= 5\cdot 2\cdot 3 + 7\cdot 1\cdot(-2) + 6\cdot 1\cdot 1\\\ &= 30 -14 + 6 = 22. \end{aligned}
Portanto
\det = 22 - 22 = 0.]

Resposta

(a) -22
(b) -13
(c) 46
(d) -21
(e) 21
(f) -11
(g) 100
(h) 0

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